Körperisomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 24.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
Seien $K$ und $L$ Körper. Weiter habe ich eine Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] gefunden, so dass
[mm] $\varphi$:$K\longrightarrow [/mm] L$
ein Körperisomorphismus ist.
Meine Frage ist nun: Vererben sich die Eigenschaften? D.h.:
Angenommen wir wüßten von K, dass K vollständig ist. Können wir anhand des Körperisomorphismuses folgern, dass L vollständig ist?
oder:
Angenommen ich weiß [mm] $\IQ\subset [/mm] K,L$ sind Oberkörper von [mm] $\IQ$ [/mm] und $L$ liegt dicht in [mm] $\IQ$. [/mm] Folgt dann aufgrund des Körperisomorphismuses, dass auch $K$ dicht in [mm] $\IQ$ [/mm] ist?
Also allgemein wollte ich nur wissen, ob ich einen Körperisomorphismus dazu verwenden kann, Eigenschaften von einem Körper K auf einen Körper L zu übertragen.
Ich danke euch für eure Antworten.
Denny
(Diese Fragen wurde in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 24.09.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Meine Frage ist nun: Vererben sich die Eigenschaften?
Ja.
> Angenommen ich weiß [mm]\IQ\subset K,L[/mm] sind Oberkörper von [mm]\IQ[/mm]
> und [mm]L[/mm] liegt dicht in [mm]\IQ[/mm].
Gemeint hast du bestimmt das Gegenteil: [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IL.
[/mm]
> Also allgemein wollte ich nur wissen, ob ich einen
> Körperisomorphismus dazu verwenden kann, Eigenschaften von
> einem Körper K auf einen Körper L zu übertragen.
Kannst du.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
Danke für die Antwort.
Jetzt habe ich endlich verstanden, wofür solche Körperisomorphismen gut sind.
Danke nochmals
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Di 26.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny!
> Seien [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm] Körper. Weiter habe ich eine Abbildung
> [mm]\varphi[/mm] gefunden, so dass
> [mm]\varphi[/mm]:[mm]K\longrightarrow L[/mm]
> ein Körperisomorphismus ist.
> Meine Frage ist nun: Vererben sich die Eigenschaften?
Das haengt ganz von der Eigenschaft ab, insb. davon ob sich die Eigenschaft nur auf den Koerper bezieht oder noch auf eine weitere Struktur, etwa auf eine Bewertung/Topologie des Koerpers. Isomorphismen von Koerpern ignorieren solche weitere Eigenschaften.
Nimm etwa $K = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] und $L = [mm] \IQ(\exp(\frac{2\pi i}{3}) \sqrt[3]{2})$, [/mm] jeweils ausgestattet mit der Relativtopologie von [mm] $\IC$. [/mm] Beide Koerper sind isomorph (da die erzeugenden Elemente das gleiche Minimalpolynom ueber [mm] $\IQ$ [/mm] haben), jedoch liegt [mm] $\IQ$ [/mm] nur dicht in $K$, aber nicht in $L$ (bzgl. der Relativtopologie). Und $L$ liegt dicht in [mm] $\IC$, [/mm] $K$ jedoch nicht.
> D.h.:
> Angenommen wir wüßten von K, dass K vollständig ist.
> Können wir anhand des Körperisomorphismuses folgern, dass L
> vollständig ist?
Im Allgemeinen gilt das nicht. Wenn der Isomorphismus jedoch vertraeglich mit der Bewertung ist (ich nehme mal an, dass du vollstaendig bzgl. einer Bewertung meinst), dann doch. Wenn er nicht mit den Bewertungen vertraeglich ist, dann kann die Aussage sowohl richig als auch falsch sein.
> oder:
> Angenommen ich weiß [mm]\IQ\subset K,L[/mm] sind Oberkörper von [mm]\IQ[/mm]
> und [mm]L[/mm] liegt dicht in [mm]\IQ[/mm]. Folgt dann aufgrund des
> Körperisomorphismuses, dass auch [mm]K[/mm] dicht in [mm]\IQ[/mm] ist?
Siehe oben, das muss nicht umbedingt gelten.
> Also allgemein wollte ich nur wissen, ob ich einen
> Körperisomorphismus dazu verwenden kann, Eigenschaften von
> einem Körper K auf einen Körper L zu übertragen.
Bei Eigenschaften wie der Charakteristik des Koerpers, der Dimension ueber dem Primkoerper etc. geht das problemlos... Oder wenn der Isomorphismus einen gewissen Unterkoerper $K'$ erhaelt, dann werden auch Eigenschaften wie $K/K'$ separabel/$K/K'$ normal erhalten. Aber manche Eigenschaften werden halt nicht erhalten.
LG Felix
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