Körperstruktur auf R^3 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine Körperstruktur auf dem [mm] \IR^{3} [/mm] gibt. |
hallo. ich finde hier leider keinen ansatz. uns wurde als tipp gegeben, dass man sich die eigenwerte angucken sollte. leider kann ich damit auchnichts anfangen, denn ich kann nur die eigenwerte einer matrix bzw. abbildung berechnen. kann mir jemand weiterhelfen??? vielen dank im vorraus.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:29 So 18.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, dass es keine Körperstruktur auf dem [mm]\IR^{3}[/mm]
> gibt.
So wie du die Aufgabe hier wiedergibst ist sie schlichtweg falsch: man nehme eine bliebige Bijektion [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR$ [/mm] und definiere $a [mm] \oplus [/mm] b := [mm] \varphi^{-1}(\varphi(a) [/mm] + [mm] \varphi(b))$ [/mm] und $a [mm] \odot [/mm] b := [mm] \varphi^{-1}(\varphi(a) \cdot \varphi(b))$; [/mm] dann ist [mm] $(\IR^3, \oplus, \odot)$ [/mm] ein Koerper (der isomorph zu [mm] $\IR$ [/mm] ist).
Du meinst wohl eher: dass es auf [mm] $\IR^3$ [/mm] keine Koerperstruktur gibt, die bezueglich der [mm] $\IR$-Vektorraumstruktur [/mm] auf [mm] $\IR^3$ [/mm] eine [mm] $\IR$-Algebra [/mm] ist.
Das ist ein sehr grosser Unterschied, das heisst naemlich insbesondere, dass die Addition auf [mm] $\IR^3$ [/mm] die gewoehnliche Addition ist!
> hallo. ich finde hier leider keinen ansatz. uns wurde als
> tipp gegeben, dass man sich die eigenwerte angucken sollte.
> leider kann ich damit auchnichts anfangen, denn ich kann
> nur die eigenwerte einer matrix bzw. abbildung berechnen.
> kann mir jemand weiterhelfen??? vielen dank im vorraus.....
Wenn du ein Element $y$ aus [mm] $\IR^3$ [/mm] festhaelst, dann definiert die Multiplikation $x [mm] \mapsto [/mm] x y$ eine [mm] $\IR$-lineare [/mm] Abbildung (weil [mm] $\IR^3$ [/mm] eine [mm] $\IR$-Algebra [/mm] ist!). Und diese hat eine Matrixdarstellung als $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix, wenn du eine feste [mm] $\IR$-Basis [/mm] von [mm] $\IR^3$ [/mm] waehlst.
LG Felix
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hallo. Die Aufgabe stand exakt so auf meinem Übungszettel. Du wirst aber wohl recht haben. Leider haben wir noch nicht besprochen, was eine [mm] \IR [/mm] -Algebra ist. Könntest du mir das vielleicht kurz erklären? Ist die Mult. beliebig oder kann man da auch die komponentenweise Mult. annehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 18.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> hallo. Die Aufgabe stand exakt so auf meinem Übungszettel.
> Du wirst aber wohl recht haben. Leider haben wir noch nicht
> besprochen, was eine [mm]\IR[/mm] -Algebra ist. Könntest du mir das
> vielleicht kurz erklären? Ist die Mult. beliebig oder kann
> man da auch die komponentenweise Mult. annehmen?
Die Addition ist halt genau die gleiche wie bei der Vektorraumstruktur, die Multiplikation hingegen ist relativ beliebig -- sie muss nur [mm] $\IR$-bilinear [/mm] sein. D.h. konkret: Fuer $v, w [mm] \in \IR^3$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \R$ [/mm] muss [mm] $(\lambda [/mm] v) [mm] \cdot [/mm] w = [mm] \lambda [/mm] (v [mm] \cdot [/mm] w) = v [mm] \cdot (\lambda [/mm] w)$ gelten.
Und gerade wegen dieser Bilinearitaet ist die Abbildung $v [mm] \mapsto [/mm] v w$ fuer ein festes $w [mm] \in \IR^3$ [/mm] ein [mm] $\IR$-Vektorraum-Homomorphismus.
[/mm]
LG Felix
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Irgendwie hilft mir das auch nicht weiter. Wenn ich eine Abb. definiere durch f(v)=v*w und die kanonische basis des [mm] \IR^{3} [/mm] e1,e2,e3 wähle. wenn ich keine multiplikation vorraussetze komme ich nur auf die matrix in dessen 1-ter spalte e1*w steht usw. Aber auch wenn ich die Komponentenweise Mult. annehme, komme ich da nicht weiter, denn dann kann ich zwar eigenwerte brechnen, seh aber nicht wirklich was mir das bringen soll. hast du vielleicht noch einen tipp??? vielen dank im vorraus.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mo 19.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Irgendwie hilft mir das auch nicht weiter. Wenn ich eine
> Abb. definiere durch f(v)=v*w und die kanonische basis des
> [mm]\IR^{3}[/mm] e1,e2,e3 wähle. wenn ich keine multiplikation
> vorraussetze komme ich nur auf die matrix in dessen 1-ter
> spalte e1*w steht usw.
Ja, und zwar in einer Darstellung [mm] $e_1 [/mm] * w = [mm] a_{11} e_1 [/mm] + [mm] a_{21} e_2 [/mm] + [mm] a_{31} e_3$.
[/mm]
> Aber auch wenn ich die
> Komponentenweise Mult. annehme, komme ich da nicht weiter,
> denn dann kann ich zwar eigenwerte brechnen, seh aber nicht
> wirklich was mir das bringen soll. hast du vielleicht noch
> einen tipp??? vielen dank im vorraus.....
Warum versuchst du eigentlich immer auf die komponentenweise Multiplikation zurueckzukehren? Damit ist es insb. kein Koerper, weil es Nullteiler gibt. Ausserdem steht nirgendwo in der Aufgabe, dass es sich um ausgerechnet diese Multiplikation handelt.
Du nimmst einfach an, es gebe irgendeine.
Du hast jetzt also eine $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix mit Eintraegen in [mm] $\IR$. [/mm] Was kannst du (ganz allgemein!) ueber die Eigenwerte einer solchen Matrix aussagen?
Und angenommen, eine solche Matrix haette einen reellen Eigenwert, koenntest du vielleicht damit etwas anfangen?
Denke uebrigens daran, dass dein Koerper [mm] $\IR^3$ [/mm] den Koerper [mm] $\IR$ [/mm] als Unterkoerper enthaelt (ueber eine Einbettung, die durch die [mm] $\IR$-Algebra-Struktur [/mm] gegeben ist: wenn $E$ das Einselement von [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\lambda [/mm] E$ das Bild von [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] unter der Einbettung).
LG Felix
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