Körpervolumen Integral < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Fr 21.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen des Körpers J, der durch das Paraboloid [mm] z=x^{2}+y^{2} [/mm] und den Zylinder [mm] x^2+y^2=4 [/mm] begrenzt wird. Verwenden Sie dazu Dreifachintegrale und geeignete Koordinaten. |
Ich kann mir leider gar nichts unter diesem Körper vorstellen und weiß nicht, wie ich die Grenzen für die Integrale bestimme. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Mit Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Fr 21.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Zuerst mal den Zylinder. [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4$. Was für ein geometrisches Objekt wird da beschrieben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Fr 21.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
Das dürfte wohl ein Kreis mit dem Radius r=2 sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Fr 21.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
Das dürfte wohl ein Kreis mit dem Radius r=2 sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Fr 21.03.2014 | | Autor: | chrisno |
gut, nur steht da ja "Zylinder" aber nichts von der z-Koordinate. Was folgt daraus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 21.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
Hmmm okay also dann würde ich sagen es handelt sich um ein Kugelsegment mit [mm] \phi\in[0;2\pi] [/mm] , [mm] r\in[0;2] [/mm] , [mm] z\in[0;r^{2}] [/mm] da [mm] x^{2}+y^{2}=r^2 [/mm] sind. Da Zylinderkoordinaten verwendet werden, kommt in das Integral die Jacobideterminante r hinzu und das ganze sieht so aus:
[mm] \integral{\integral_{J}{\integral{dV}}}=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{r^{2}}{r dz}dr}d\phi}=8\pi
[/mm]
Könnte das so stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Fr 21.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Da liegst Du falsch. Zu der Menge gehören alle Punkte, für die [mm] $x^2+y^2=4$ [/mm] gilt. Für z = 0 ist es der Kreis in der x-y-Ebene. Für z = 1 ist es der Kreis der genau um 1 in z-Richtung verschoben ist. Da nun z beliebig ist, wird der Kreis in z- Richtung nach oben und unten geschoben und so entsteht der unendlich lange Zylinder.
Derzeit ist es noch nicht angebracht, über Integrale nachzudenken.
Nun das Paraboloid. [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = z$. Gehe genau wie ich Eben bei dem Zylinder vor. Wähle z = 0, $z = [mm] \pm [/mm] 1$ ... und beschreibe welche Figur so entsteht.
Ich bin nun offline.
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