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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich soll den Kokern der [mm] $\IZ$-linearen [/mm] Abbildung $f: [mm] \IZ^2\to\IZ^2, x\mapsto \pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 8 }x$ [/mm] bestimmen.
Der Kokern ist ja hier [mm] \IZ^2/Bild(f). [/mm]
[mm] Bild(f)=\{\vektor{2t \\ 4t}\in\IZ^2|t\in\IZ\}.
[/mm]
Nun wollte ich fragen, ob wirklich unendlich viele Elemente in dem Kokern liegen, oder ob man den Kokern einfach aufzählend hinschreiben kann, wie z.B. wenn man $g: [mm] \IZ\to\IZ, x\mapsto [/mm] 2x$ hätte. Hier wäre ja [mm] Bild(g)=2\IZ [/mm] und daher [mm] Kokern(g)=\IZ/2\IZ=\{\overline{0}, \overline{1}\}.
[/mm]
Meine Darstellung ist bis jetzt folgende:
Die Äquivalenzklasse von einem [mm] x=\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] ist ja die Menge [mm] \{\vektor{x_1+2t \\ x_2+4t}\in\IZ^2|t\in\IZ\} [/mm] und daher [mm] Kokern(f)=\{\{\vektor{x_1+2t \\ x_2+4t}\in\IZ^2|t\in\IZ\}|x\in\IZ^2\}. [/mm] Kann man das noch leserlicher aufdröseln, oder ist die Rechnung hiermit beendet?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich soll den Kokern der [mm]\IZ[/mm]-linearen Abbildung [mm]f: \IZ^2\to\IZ^2, x\mapsto \pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 8 }x[/mm]
> bestimmen.
>
> Der Kokern ist ja hier [mm]\IZ^2/Bild(f).[/mm]
> [mm]Bild(f)=\{\vektor{2t \\ 4t}\in\IZ^2|t\in\IZ\}.[/mm]
>
> Nun wollte ich fragen, ob wirklich unendlich viele Elemente
> in dem Kokern liegen,
Ja. Da alles endlich erzeugte [mm] $\IZ$-Moduln [/mm] sind, folgt das aus dem Rangsatz: der Rang von [mm] $\IZ^2 [/mm] / Bild(f)$ ist gleich dem Rang von [mm] $\IZ^2$ [/mm] (also 2) minus dem Rang von $Bild(f)$ (und der ist 1).
> oder ob man den Kokern einfach
> aufzählend hinschreiben kann,
Kannst du auch, da ein endlich erzeugter [mm] $\IZ$-Modul [/mm] immer abzaehlbar ist. Du wirst aber nie fertig :)
> wie z.B. wenn man [mm]g: \IZ\to\IZ, x\mapsto 2x[/mm]
> hätte. Hier wäre ja [mm]Bild(g)=2\IZ[/mm] und daher
> [mm]Kokern(g)=\IZ/2\IZ=\{\overline{0}, \overline{1}\}.[/mm]
>
> Meine Darstellung ist bis jetzt folgende:
> Die Äquivalenzklasse von einem [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] ist
> ja die Menge [mm]\{\vektor{x_1+2t \\ x_2+4t}\in\IZ^2|t\in\IZ\}[/mm]
> und daher [mm]Kokern(f)=\{\{\vektor{x_1+2t \\ x_2+4t}\in\IZ^2|t\in\IZ\}|x\in\IZ^2\}.[/mm]
> Kann man das noch leserlicher aufdröseln, oder ist die
> Rechnung hiermit beendet?
Klar kann man das leserlicher machen. Der Kokern ist isomorph zu [mm] $\IZ/n\IZ \times \IZ$ [/mm] fuer ein passendes $n > 0$. Du koenntest diesen Isomorphismus explizit angeben, indem du ein Element $v$ mit unendlicher Ordnung und ein Element $w$ mit Ordnung $n$ angibst mit $Kokern(g) = v [mm] \IZ \oplus [/mm] w [mm] \IZ$.
[/mm]
Dazu findest du am besten eine Basis von [mm] $\IZ^2$, [/mm] so dass $Bild(f)$ von einem ganzzahligen Vielfachen vom ersten Basisvektor erzeugt wird. (Das Vielfache ist dann uebrigens das $n$ von oben.) Der erste Basisvektor ist dann $w$ (oder genauer: $w$ ist die Restklasse davon), der zweite $v$ (dito).
[Wenn du den Elementarteilersatz kennst: der sagt dir, dass es eine solche Basis gibt.]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 26.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Erläuterung. Wir haben nicht wirklich viel mit Moduln gemacht, daher bin ich da nicht so fit drin. Ist aber gut, dass der Rangsatz dort auch gilt, das erklärt es natürlich.
Und der Kokernn von mir stimmt dann wohl auch, zumindest hattest du nichts auszusetzen. :)
Mal schauen, ob ich es noch hinkriege eine zum Kokern isomorphe Gruppe hinzuschreiben.
Vielen Dank!
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