Kombination meherer Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 12.01.2005 | | Autor: | TSchabba |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hat jemand eine Idee, wie man folgendes beweist?
[mm]U_1,U_2,U_3[/mm] sind Unterräume von [mm]V[/mm]. Zu zeigen: [mm]U_1 + (U_2 \cap U_3) \subseteq (U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/mm].
Ich habe bisher alles mögliche mit den Distributiv-Inklusionen herumprobiert, aber irgendwann stehe ich immer vor dem Problem, dass die Inklusion nur in die falsche Richtung funktioniert. Kann mir jemand helfen?
Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Timo,
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hat jemand eine Idee, wie man folgendes beweist?
> [mm]U_1,U_2,U_3[/mm] sind Unterräume von [mm]V[/mm]. Zu zeigen:
> [mm]U_1 + (U_2 \cap U_3) \subseteq (U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/mm].
> Ich habe bisher alles mögliche mit den
> Distributiv-Inklusionen herumprobiert, aber irgendwann
> stehe ich immer vor dem Problem, dass die Inklusion nur in
> die falsche Richtung funktioniert. Kann mir jemand
> helfen?
Hast du vielleicht irgendwelche Voraussetzungen vergessen? Denn so, wie das da steht, kann das gar nicht stimmen:
Sei [m]V=\IR^2[/m] mit der üblichen Multiplikation und Addition von Vektoren versehen (d.h. [m]\alpha\vektor{x_1\\x_2}:=\vektor{\alpha x_1\\\alpha x_2}[/m] und [m]\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2}:=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2}[/m]
für alle [m]\alpha \in \IR[/m], alle [m]\vektor{x_1\\x_2},\vektor{y_1\\y_2} \in \IR^2[/m]).
Betrachte:
[m]U_1:=\left\{\vektor{x_1\\0}:\;x_1 \in \IR\right\}[/m], [m]U_2:=\left\{\vektor{a\\a}:\;a \in \IR\right\}[/m] und [m]U_3:=\left\{\vektor{0\\x_2}:\;x_2 \in \IR\right\}[/m].
Das sind alles Unterräume des [m]\IR^2[/m] und es gilt:
[m]U_1\cap U_2=U_1 \cap U_3=U_2 \cap U_3 =\left\{\vektor{0\\0}\right\}[/m], woraus folgt:
[m]U_1+(U_2 \cap U_3)=U_1+\left\{\vektor{0\\0}\right\}=U_1 \blue{\not\subseteq} (U_2 + \underbrace{(U_3 \cap U_1)}_{\left\{\vektor{0\\0}\right\}}) \cap (U_3 + \underbrace{(U_1 \cap U_2)}_{=\left\{\vektor{0\\0}\right\}})=U_2 \cap U_3=\left\{\vektor{0\\0}\right\}[/m], weil z.B. [m]\vektor{1\\0}\in U_1[/m], aber [m]\vektor{1\\0} \notin \left\{\vektor{0\\0}\right\}[/m].
D.h., hier gilt:
[m]U_1+(U_2 \cap U_3)[/m] ist keine Teilmenge von [m](U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/m].
Also: Vielleicht ist die Aufgabenstellung fehlerhaft oder es fehlen Voraussetzungen an [m]U_1,U_2[/m] bzw. [m]U_3[/m].
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mi 12.01.2005 | | Autor: | TSchabba |
Hallo zusammen!
Sorry, ich habe bei meienr Aufgabe leider einen Fehler gemacht, das Inklusionszeichen ist falschrum gewesen es muss heißen: Zu zeigen ist [mm]U_1 + (U_2 \cap U_3) \supseteq (U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/mm]!
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Do 13.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Timo,
> Hallo zusammen!
> Sorry, ich habe bei meienr Aufgabe leider einen Fehler
> gemacht, das Inklusionszeichen ist falschrum gewesen es
> muss heißen: Zu zeigen ist [mm]U_1 + (U_2 \cap U_3) \supseteq (U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/mm]!
Okay. Dann beweisen wir das mal:
Ist [m]x \in (U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/m], so existieren [m]a \in U_2[/m] und [m]b \in (U_3 \cap U_1)[/m] mit
[mm] $(\star_1)$ [/mm] $x=a+b$ (da [m]x \in (U_2 + (U_3 \cap U_1))[/m])
sowie $c [mm] \in U_3$ [/mm] und [m]d \in(U_1 \cap U_2)[/m], so dass
[mm] $(\star_2)$[/mm] [m]x=c+d[/m] (da [m]x \in (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/m]), d.h., wenn man [m](\star_1)[/m] und [m](\star_2)[/m] zusammenfasst:
[mm] $(\star_3)$[/mm] [m]x=\underbrace{a}_{\in U_2}+\underbrace{b}_{\in U_3 \cap U_1}=\underbrace{c}_{\in U_3}+\underbrace{d}_{\in U_1 \cap U_2}[/m].
Dann erhalten wir aber:
(1) [m]c-b \in U_3[/m] (da $b,c [mm] \in U_3$ [/mm] und [mm] $U_3$ [/mm] UR ([m]\leftarrow[/m] ich kürze "Unterraum" ab jetzt stets mit UR ab))
(2) [m]a-d \in U_2[/m] (da $a,d [mm] \in U_2$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] UR)
Aus (1) und (2) folgt dann aber wegen [mm] $(\star_3)$:
[/mm]
[m]\underbrace{a-d}_{\in U_2}=\underbrace{c-b}_{\in U_3}[/m], also muss
[mm] $(\star_4)$[/mm] [m]a-d=c-b \in (U_2 \cap U_3)[/m] gelten.
Wir erhalten damit aus $x=a+b$ (siehe [mm] $(\star_3)$):
[/mm]
[m]x=a+b
=\underbrace{a}_{\in U_2}+(\underbrace{\underbrace{d}_{\in U_2 \cap U_1}+\underbrace{(-d)}_{\in U_1 \cap U_2}}_{=0 \in U_1 \cap U_2 \cap U_3})+\underbrace{b}_{\in U_1}\stackrel{Ass.-Gesetz\,+\,Komm.-Gesetz\,im\;\,Vektorraum\;\,V}{=}\underbrace{(b+d)}_{\in U_1}+\underbrace{(a-d)}_{\in U_2 \cap U_3\;\,wegen\;\,(\star_4)}[/m]
(Beachte dabei:
(1.) Wegen $b,d [mm] \in U_1$ [/mm] und [mm] $U_1$ [/mm] UR [mm] $\Rightarrow$[/mm] [m]b+d \in U_1[/m]!
(2.) [m]U_1,U_2,U_3 \subseteq V[/m])
Also gilt auch:
$x [mm] \in U_1+(U_2 \cap U_3)$, [/mm] und, da [m]x \in (U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2))[/m] beliebig war, folgt:
[mm](U_2 + (U_3 \cap U_1)) \cap (U_3 + (U_1 \cap U_2)) \subseteq U_1+(U_2 \cap U_3)[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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