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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mi 08.02.2012 | | Autor: | vivi |
Hallo liebes Forum,
ich habe gerade eine Aufgabe angeschaut und bin auf ein Problem gestoßen, allerdings weiß ich jetzt grad nicht, worin genau mein Denkfehler besteht. Die Aufgabe lautet:
Ich habe 32 Karten, jeweils viermal 7,8,9,10,B,D,K,A.
Ich ziehe 4 Mal eine Karte. Wie hoch ist die Wkeit, dass ich nie eine Zahl ziehe?
Nun kann man ja einerseits seinen Grundraum festlegen auf [mm] (7,...,A)^4 [/mm] mit Kardinalität [mm] 8^4 [/mm] (da ich 4 von jeder Kartensorte habe und die Farbe egal ist, entspricht das Ganze dem viermaligen Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 8 Kugeln und mit Zurücklegen). Und die Anzahl der günstigen Ereignisse entspricht [mm] 4^4, [/mm] weil nur noch B,D,K,A in Frage kommen. D.h. die Wkeit beträgt [mm] 0.25^2
[/mm]
Andererseits habe ich mir überlegt, ob man das nicht uminterpretieren kann, und zwar in Ziehung von 4 Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln OHNE Zurücklegen. Ich habe an so etwas gedacht wie: Die 16 Kugeln mit 7,8,9,10 sind z.B. "schwarz" und die anderen 16 sind "rot". Ich würde dann folgendes rechnen:
[mm]
{16 \choose 0} * {16 \choose 4} * \frac{1}_{{32 \choose 4}}
[/mm]
Allerdings komme ich damit auf ein viel hässlicheres Ergebnis.
Kann mir jemand erklären, wo mein Denkfehler ist?
Vielen Dank im Voraus!
MfG
Vivi
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> Hallo liebes Forum,
> ich habe gerade eine Aufgabe angeschaut und bin auf ein
> Problem gestoßen, allerdings weiß ich jetzt grad nicht,
> worin genau mein Denkfehler besteht. Die Aufgabe lautet:
>
> Ich habe 32 Karten, jeweils viermal 7,8,9,10,B,D,K,A.
> Ich ziehe 4 Mal eine Karte. Wie hoch ist die Wkeit, dass
> ich nie eine Zahl ziehe?
>
> Nun kann man ja einerseits seinen Grundraum festlegen auf
> [mm](7,...,A)^4[/mm] mit Kardinalität [mm]8^4[/mm] (da ich 4 von jeder
> Kartensorte habe und die Farbe egal ist, entspricht das
> Ganze dem viermaligen Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit
> 8 Kugeln und mit Zurücklegen). Und die Anzahl der
> günstigen Ereignisse entspricht [mm]4^4,[/mm] weil nur noch B,D,K,A
> in Frage kommen. D.h. die Wkeit beträgt [mm]0.25^2[/mm]
>
> Andererseits habe ich mir überlegt, ob man das nicht
> uminterpretieren kann, und zwar in Ziehung von 4 Kugeln aus
> einer Urne mit 32 Kugeln OHNE Zurücklegen. Ich habe an so
> etwas gedacht wie: Die 16 Kugeln mit 7,8,9,10 sind z.B.
> "schwarz" und die anderen 16 sind "rot". Ich würde dann
> folgendes rechnen:
> [mm]
{16 \choose 0} * {16 \choose 4} * \frac{1}_{{32 \choose 4}}
[/mm]
>
> Allerdings komme ich damit auf ein viel hässlicheres
> Ergebnis.
> Kann mir jemand erklären, wo mein Denkfehler ist?
Das ist kein Denkfehler, es macht schlicht und einfach einen Unterschied, ob du eine Ziehung mit oder ohne Zurücklegen betrachtest. Die erste Wahrscheinlichkeit [mm] 1/2^4 [/mm] erhältst du, wenn du nach jedem Ziehen die gezogene Karte wieder unter die anderen mischt, bevor du die nächste ziehst.
Wenn du 4 Karten ziehst und auf der Hand behältst, bekommst du die zweite "hässlichere" Wahrscheinlichkeit, die der hypergeometrischen Verteilung entspricht.
Das Ergebinis kannst du aber noch ein bisschen einfacher bekommen: Für die 1. Karte ist die Wahrscheilichkeit einer "Nicht-Zahl" 1/2, für die 2. ist sie dann 15/31, für die 3. dann 14/30 usw., d.h. die Wahrscheinlichkeit, bei 4 Karten keine Zahl zu ziehen, ist gleich 1/2*15/31*14/30*13/29, was den gleichen Wert wie "deine" Formel ergibt.
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> Vielen Dank im Voraus!
> MfG
> Vivi
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