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Hallo,
wie viele Möglichkeite gibt es 2n Personen (n [mm] \in \IN [/mm] ) in Gruppen zu zwei Personen aufzuteilen.
Wie muss ich da vorgehen?
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Hallo lernen2011,
> Hallo,
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> wie viele Möglichkeite gibt es 2n Personen (n [mm]\in \IN[/mm] ) in
> Gruppen zu zwei Personen aufzuteilen.
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> Wie muss ich da vorgehen?
Für die Bildung der ersten Gruppe gibt es [mm]\pmat{2n \\ 2}[/mm] Möglichkeiten.
Für die Bildung der zweiten Gruppe
stehen nur noch 2n-2 Personen zur Verfügung.
Daher gibt es hier [mm]\pmat{2n-2 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten.
Das wird solange fortgeführt, bis sich keine Gruppe mehr bilden läßt.
Danach sind die bestimmten Möglichkeiten miteinander zu multiplizieren.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo lernen2011,
wenn die Reihenfolge der Gruppen wichtig ist, ist MathePowers Lösung korrekt. Sind die Gruppen aber "nicht nummeriert", sind dann aber einige Kombinationen doppelt gezählt.
Z.B.: n=2
Es sind 4 Personen, die ich mal mit 1,2,3 und 4 bezeichne. Die möglichen Einteilungen in 2er Gruppen sind
12 34
13 24
14 23
Das sind 3 Möglichkeiten. Mit [mm]\binom{2n}{2}=\binom 4 2 =6[/mm] sind aber auch die Einteilungen
34 12
24 13
23 14
dabei.
Wenn du das für n=3,4,... durchdenkst, kommst du für die Anzahl der Möglichkeiten auf [mm]\prod_{k=0}^{n-1}\binom{2n-2k}{2}/n![/mm].
Äqivalent dazu ist folgende Überlegung:
Beispiel n=3
Um die 6 Personen irgendwie anzuordnen, gibt es 6! Möglichkeiten. Es wurde aber jede 2er Gruppe doppelt gezählt (also etwa 12 und 21 oder 35 und 53). Da es 3 solche 2er Gruppen gibt muss die Anzahl durch [mm]2^3[/mm] geteilt werden, das sind dann [mm]\frac{6!}{2^3}[/mm] Möglichkeiten. Wie oben sind noch einige Kombinationen doppelt dabei, etwa 12 34 56 und 12 56 34.
Insgesamt sind es dann [mm]\frac{6!}{2^3\cdot 3!}[/mm] Möglichkeiten, oder allgemein [mm]\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}[/mm]
Dieser Ausdruck entspricht dem Produkt der ersten n ungeraden Zahlen: [mm]\prod_{k=1}^n (2k-1)[/mm].
Viele Grüße,
Fulla
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