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Hallo, ...
ich fand folgende Aufgabe, an der ich mir nun schon seit geraumer Zeit die Zähne ausbeiße, Ziehen m. Zurücklegen:
"Ein Alchemist auf der Suche nach Gold hat 56 Substanzen zur Verfügung. Da er nicht weiß welche Mischung Ihn zum Ziel führen wird, soll ihm der Zufall helfen. Er stellt hierfür zunächst drei Bottiche (Urnen) auf. Für den ersten Bottich füllt er von jeder seiner 56 Substanzen 4 Phiolen ab, wobei er in die erste Phiole 3 Teile, in die zweite Phiole 2 Teile, in die dritte 1 Teil und in die letzte Phiole nichts der Substanz einfüllt. Dies wiederholt er für alle seine drei Bottiche, so dass sich schließlich in jedem Bottich 224 Phiolen befinden. Fertig mit dieser Arbeit erschaudert er vor der ehrfürchtigen Anzahl an 11,239,424 Möglichkeiten, die ihm nun durch einmaliges blindes Ziehen aus jedem Bottich offen stehen. Beachte, in der Alchemie ist selbstverständlich auch die Reihenfolge des Zusammengebens (auch des Nichts) wichtig. Aber nun die Frage: Wie viele Möglichkeiten existieren, dass der Alchemist eine Mischung zieht, die
a) überhaupt keine Substanz enthält,
b) aus drei unterschiedlichen Substanzen besteht,
c) aus nur einer und
d) aus zwei Substanzen besteht.
Viel Spaß dabei ..."
Ich habe schon verschiedene Lösungsansätze ausprobiert:
z.B.
Insgesamt: Ziehen mit Zurücklegen: [mm] n^k=224^3=11239424
[/mm]
null: [mm] (56*1)^3 [/mm] - 3 mal 56 Phiolen ohne Inhalt möglich
drei: (56*3*55*3*54*3)
zwei: (56*3*55*3*2*3)+(56*3*55*3*56*1)
...
... komme aber nicht auf die erforderliche Gesamtanzahl an Lösungen oder liege weit darüber. Ich vermute es liegt an den möglichen Permutationen.
Mit Bitte um Hilfe ...
Theo
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.zum.de/Foren/mathematik/threads/thread457.php
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Hallo Theo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> "Ein Alchemist auf der Suche nach Gold hat 56 Substanzen
> zur Verfügung. Da er nicht weiß welche Mischung Ihn zum
> Ziel führen wird, soll ihm der Zufall helfen. Er stellt
> hierfür zunächst drei Bottiche (Urnen) auf. Für den ersten
> Bottich füllt er von jeder seiner 56 Substanzen 4 Phiolen
> ab, wobei er in die erste Phiole 3 Teile, in die zweite
> Phiole 2 Teile, in die dritte 1 Teil und in die letzte
> Phiole nichts der Substanz einfüllt. Dies wiederholt er für
> alle seine drei Bottiche, so dass sich schließlich in jedem
> Bottich 224 Phiolen befinden. Fertig mit dieser Arbeit
> erschaudert er vor der ehrfürchtigen Anzahl an 11,239,424
> Möglichkeiten, die ihm nun durch einmaliges blindes Ziehen
> aus jedem Bottich offen stehen. Beachte, in der Alchemie
> ist selbstverständlich auch die Reihenfolge des
> Zusammengebens (auch des Nichts) wichtig. Aber nun die
> Frage: Wie viele Möglichkeiten existieren, dass der
> Alchemist eine Mischung zieht, die
>
> a) überhaupt keine Substanz enthält,
> b) aus drei unterschiedlichen Substanzen besteht,
> c) aus nur einer und
> d) aus zwei Substanzen besteht.
>
>
> Viel Spaß dabei ..."
>
>
> Ich habe schon verschiedene Lösungsansätze ausprobiert:
> z.B.
> Insgesamt: Ziehen mit Zurücklegen: [mm]n^k=224^3=11239424[/mm]
> null: [mm](56*1)^3[/mm] - 3 mal 56 Phiolen ohne Inhalt möglich
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> drei: (56*3*55*3*54*3)
> zwei: (56*3*55*3*2*3)+(56*3*55*3*56*1)
Beim ersten Summanden meinst Du offensichtlich die Kombinationen, bei denen aus zwei Bottichen die eine Substanz und aus dem verbleibenden Bottich die andere Substanz gezogen wird. Du willst mit Deiner Rechnung erreichen, dass aus dem ersten Bottich die erste Substanz gezogen wird, aus dem zweiten die zweite und aus dem dritten eine der beiden ersten. Das Problem ist aber, dass Du so nicht berücksichtigst, dass auch die Ziehungen S1, S1, S2 zu zwei Substanzen führen würden, also in den ersten beiden Bottichen dieselbe Substanz. Wenn Du nun einfach mit 3! multiplizierst (um die Permutationen der Bottiche zu berücksichtigen), erhältst Du aber wiederum zu viele Möglichkeiten, weil Du ja durch den Faktor 2 schon bestimmte Kombinationsmöglichkeiten offengelassen hast, die dann wieder doppelt gezählt werden. Mein Vorschlag: wir wählen erst die zwei Substanzen S1 und S2 (dafür gibt es 56 *55 Möglichkeiten). Für die Kombination S1, S1, S2 gibt es [mm] $3^3$ [/mm] Möglichkeiten (die tauchen bei Dir ja auch auf), genauso für S1, S2, S1 und S2, S1, S1. Insgesamt ergibt sich eine Anzahl von [mm] $56*55*3*3^3$=249480.
[/mm]
Beim zweiten Summanden ist wieder die Permutation der Bottiche nicht berücksichtigt. Schließlich gibt es 3 Möglichkeiten für den Bottich, aus dem die leere Phiole gezogen werden soll. Also ist das Teilergebnis hier 56*55*3*3*3*56=4656960.
> ...
Für eine Substanz müssen die Fälle S,S,S (d.h. es wurde jeweils die Substanz gezogen) mit 56*3*3*3 Möglichkeiten, S,S,L bzw. S,L,S bzw. L,S,S (L steht für leere Phiole) mit insgesamt 3*(56*3*3*56) und S,L,L bzw. L,S,L bzw. L,L,S mit insgesamt 3*(56*3*56*56) Möglichkeiten berücksichtigt werden. Ich hoffe, dass ich mich nun nicht vertippt habe und alle Probleme gelöst sind.
Viele Grüße
Brigitte
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.zum.de/Foren/mathematik/threads/thread457.php
Hab jetzt nicht extra nachgeschaut, ob da schon eine Lösung existiert. Gewöhn Dir doch in Zukunft an, nur in einem Forum zu posten. Danke.
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