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| Aufgabe | Es sei H eine kommutative Halbgruppe. Man definiere auf dem kartesischen Produkt HxH
[mm] (u,v)\sim [/mm] (u',v'): [mm] \gdw \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] H: u+v'+w=u'+v+w.
Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf HxH definiert. |
Hallo,
ich weiß, dass für eine Äquivalenzrelation folgendes gilt.
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $ \ M $ ist eine Relation $ \ R [mm] \subset [/mm] M [mm] \times [/mm] M = [mm] \{ (x,y) \in R : x \sim y \} [/mm] $
für die folgendes erfüllt wird:
Ä1: Reflexivität: $ \ ( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M)(x,x) [mm] \in [/mm] R $, d.h. a [mm] \sim [/mm] a
Ä2: Symmetrie: $ \ (x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R $, d.h. a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] b [mm] \sim [/mm] a
Ä2: Transitivität: $ \ [mm] \left((x,y) \in R \right) \wedge \left((y,z) \in R \right) \Rightarrow [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] R $, d.h. a [mm] \sim [/mm] b und b [mm] \sim [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] c
so, jetzt muss man dies ja sicherlich dort anwenden, nur ich weiß gerade irgendwie nicht wie... Kann mir da vielleicht jemand helfen??
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Do 14.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach nachrechnen:
zeige [mm] (u,v)\sim [/mm] (u,v) indem du die Def. einsetzt.
einfach für alle 3 Gesetze ausprobieren , indem man die def. der >Äquivalenz einsetzt.
da kann man nur deine Arbeit machen, keine wietere hilfe geben.
gruss leduart
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Hi leduart,
hmmm. also ich weiß aber nicht genau, wie man die Def. da anwendet.
Ä1: (u,v) $ [mm] \sim [/mm] $ (u,v), da u+v=v+u
??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 14.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch :
$ [mm] (u,v)\sim [/mm] $ (u',v'): $ [mm] \gdw \exists [/mm] $ w $ [mm] \in [/mm] $ H: u+v'+w=u'+v+w.
also zu zeigen es gibt ein w mit u+v+w=u+v+w was kannst du über die Existenz von w sagen? das schreib hin!
dann wenn [mm] (u,v)\sim [/mm] (u',v') Beh dann auch [mm] (u',v')\sim [/mm] (u,v)
schreib für das vordere und hintere die def. hin und find ein w für das hintere, wenn du ein für das vordere hast.
Gruss leduart
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