Kommutativer Ring < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1. Für alle m [mm] \in \IN, [/mm] existieren eindeutig bestimmte Elemente: q, r, [mm] \in \IN [/mm] so dass m = qn + r mit [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] n-1 ist.
Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 und sei [mm] \IZ_{n} [/mm] ={0,1,2, ..., n-1}. Für alle x,y [mm] \in \IZ_{n} [/mm] sei x+y [mm] =r_n(x+y) [/mm] und x [mm] \* [/mm] y = [mm] r_n(xy).
[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm] (\IZ_{n}, [/mm] +, [mm] \*) [/mm] ein kommutativer Ring ist. |
Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit der o. g. Aufgabe und weiß im Prinzip auch, was ich zu tuen habe.
1. Zeigen, dass [mm] (\IZ_n [/mm] , +) eine abelsche Gruppe ist. Und
2. das [mm] (\IZ_n [/mm] , [mm] \*) [/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Folgende Fragen: Im Prinzip muss ich ja nur Die Definitionen abgrasen.
Zeige ich alle Sachverhalte an: m = qn + r ??? Also das der Ausdruck kommutativ ist, assoziativ, abgeschlossen ....?
Wenn ja, wie zeige ich denn hier beispiels weise die beiden Inversen Elemente für "+" und [mm] "\*" [/mm] ?
Vielen Dank für die Hilfe!
|
|
| |
|
hi,
Wenn du die Definitionen abgrasen möchtest, dann nimmst du dir z.b. für Kommutativität einfach beliebige Elemente aus dem Ring R, d.h.
[mm] $x_1, x_2\in [/mm] R$ und zeigst es an diesen.
Wegen [mm] $x_1, x_2\in [/mm] R$ hat jedes dieser [mm] $x_i$ [/mm] die Darstellung [mm] $x_1=q_1+mr_1$ [/mm] bzw. [mm] $x_2=q_2+mr_2$ [/mm] und diese setzt du bei [mm] $x_1\cdot x_2$ [/mm] ein.
wieschoo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo wieschoo,
> Wegen [mm]x_1, x_2\in R[/mm] hat jedes dieser [mm]x_i[/mm] die Darstellung
> [mm]x_1=q_1+mr_1[/mm] bzw. [mm]x_2=q_2+mr_2[/mm] und diese setzt du bei
> [mm]x_1\cdot x_2[/mm] ein.
1. Du meintest wohl [mm] $x_i=nq_i+r_i$ [/mm] mit [mm] $0\le r_i\le [/mm] n-1$.
2. Dann gilt wegen [mm] $x_i\in\IZ_n$: $q_i=0$ [/mm] und [mm] $r_i=x_i$. [/mm] Diese Darstellung der [mm] $x_i$ [/mm] wird kaum weiterhelfen...
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Pass bitte auf, wie ein Ring definiert ist.
Du hast in einem Ring keine Inversen bezüglich der Multiplikation; zumindest nicht im Allgemeinen.
Das hat hier natürlich den Vorteil, dass du keine finden musst. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sauri,
zunächst einmal finde ich die Definition der Verknüpfungen auf [mm] $\IZ_n$ [/mm] unglücklich notiert.
Für jede natürliche Zahl x mögen [mm] $q_n(x)$ [/mm] und [mm] $r_n(x)$ [/mm] die eindeutig bestimmten natürlichen Zahlen mit
[mm] $x=q_n(x)*n+r_n(x)$ [/mm] und [mm] $0\le r_n(x)\le [/mm] n-1$
bezeichnen.
Dann seien Verknüpfungen $+_n$ und $*_n$ auf [mm] $\IZ_n$ [/mm] definiert durch
[mm] $x+_ny:=r_n(x+y)$ [/mm] und [mm] $x*_ny:=r_n(x*y)$.
[/mm]
Dabei mögen + und * die gewöhnlichen Verknüpfungen auf den natürlichen Zahlen bezeichnen.
Ich habe bewusst für die Verknüpfungen auf [mm] $\IZ_n$ [/mm] andere Namen als für die Verknüpfungen auf [mm] $\IN$ [/mm] gewählt. Da beide Verknüpfungen in der Aufgabenlösung auftauchen werden, kommt man sonst durcheinander.
Es ist hilfreich, sich zunächst ein paar Regeln für das Rechnen mit [mm] $r_n$ [/mm] zu überlegen. Die folgenden Regeln 3. und 4. wirst du öfters brauchen können:
1. Für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $r_n(x)=x-q_n(x)*n$.
[/mm]
(Direkte Folgerung aus der Definition von [mm] $r_n(x)$ [/mm] und [mm] $q_n(x)$.)
[/mm]
2. Für alle [mm] $x,k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x-kn\ge0$ [/mm] gilt [mm] $r_n(x-kn)=r_n(x)$.
[/mm]
Wegen [mm] $x-kn=q_n(x)*n+r_n(x)-kn=(q_n(x)-k)n+r_n(x)$ [/mm] genügt es dazu, [mm] $q_n(x)-k\in\IN$ [/mm] (d.h. [mm] $q_n(x)-k\ge0$) [/mm] zu zeigen. Dazu muss man ein wenig mit Ungleichungen hantieren.
3. Für alle [mm] $x,y\in\IN$ [/mm] gelten [mm] $r_n(r_n(x)+y)=r_n(x+y)$ [/mm] und [mm] $r_n(r_n(x)*y)=r_n(x*y)$.
[/mm]
Dies lässt sich aus 1. und 2. folgern.
4. Für alle [mm] $x\in\IZ_n$ [/mm] gilt [mm] $r_n(x)=x$.
[/mm]
Dies folgt aus $x=0*n+x$ und [mm] $0\le x\le [/mm] n-1$.
> Wenn ja, wie zeige ich denn hier beispiels weise die
> beiden Inversen Elemente für "+" und [mm]"\*"[/mm] ?
Das Inverse von [mm] $x\in\IZ_n$ [/mm] lautet 0 im Falle x=0 und $n-x$ im Falle [mm] $x\ge1$. [/mm] Falls du diese Fallunterscheidung umgehen möchtest: In beiden Fällen lautet das Inverse von x gerade [mm] $r_n(n-x)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo allen Zusammen, vielen Dank für die Antworten. Wie fängt man denn jetzt am besten an mit dem ersten Teil.
Also zu zeigen: [mm] (\IZ_n [/mm] , +) ist eine abelsche Gruppe.
1. Abgeschlossenheit
2. Assoziativität
3. Existens des Neutralen Elements
4. Existens des Additiv Inversen
5. Kommutativität
zu1)
[mm] x+_ny:=r_n(x+y) \gdw (q_n(x)\cdot{}n)+r_n(x)
[/mm]
Zeigen möchte ich x,y [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] R
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> 1. Abgeschlossenheit
>
> zu1)
> [mm]x+_ny:=r_n(x+y)[/mm]
>
> Zeigen möchte ich x,y [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\in[/mm] R
Zu zeigen ist also [mm] $r_n(x+y)\in\IZ_n$.
[/mm]
Es gilt [mm] $r_n(z)\in\IZ_n$ [/mm] für alle [mm] $z\in\IN$, [/mm] denn nach Definition von [mm] $r_n(z)$ [/mm] ist [mm] $r_n(z)$ [/mm] eine natürliche Zahl [mm] $\ge0$ [/mm] und [mm] $\le [/mm] n-1$.
Also...
|
|
|
|
