Kommutativgesetz < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Do 21.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Matrizenmultiplikation das Kommutativgesetz nicht erfüllt. Genauer zeige man, dass für jedes n > 1 und für jeden Körper K zwei nicht kommutierende n×n-Matrizen über K existieren. |
hallo,
also zu dem ersten teil hab ich mir einfach zwei matrizen genommen und diese miteinander multipliziert und das ergebnis war halt ungleich und damit ist es ja eigentlich schon gezeigt. leider hab ich aber keine ahnung wie ich an den zweiten teil rangehen soll. kann mir da zufällig jemand einen tipp zu geben? danke schon mal im vorhinein.
gruß fawkes
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> Man zeige, dass die Matrizenmultiplikation das
> Kommutativgesetz nicht erfüllt. Genauer zeige man, dass für
> jedes n > 1 und für jeden Körper K zwei nicht kommutierende
> n×n-Matrizen über K existieren.
> hallo,
> also zu dem ersten teil
Hallo,
ich sehe gar keine zwei Teile.
> leider hab ich aber keine ahnung wie ich an
> den zweiten teil rangehen soll. kann mir da zufällig jemand
> einen tipp zu geben? danke schon mal im vorhinein.
Du sollst das halt für quadratische Matrizen jeder Größe zeigen.
Also für jedes n zwei solche Matizen angeben.
Spiel mal ein bißchen. Am besten mit ganz vielen Nullen und sehr wenig Einsern. Man rechnet ja nicht so gerne...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 21.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
ich hab mir jetzt mal zwei matrizen mit einsen auf der diagonale und an der stelle an1 steht eine eins und darüber auch. bei der zweiten hab ich nur über der stelle an1 eine eins genommen. ist das schon der richtige ansatz oder brauch ich den gar nich mehr fortzuführen?
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> ich hab mir jetzt mal zwei matrizen mit einsen auf der
> diagonale und an der stelle an1 steht eine eins und darüber
> auch. bei der zweiten hab ich nur über der stelle an1 eine
> eins genommen. ist das schon der richtige ansatz oder
> brauch ich den gar nich mehr fortzuführen?
Hallo,
ob die beiden Matrizen kommutieren oder nicht, kannst Du doch ausrechnen.
Ich würde allerdings versuchen, Beispiele zu finden mit so wenig Einsen, wie es geht, denn Du sollst das ja dann später für beliebiges n vorrechnen, und da ist es praktisch, wenn man viele Nullen hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
also ehrlich gesagt weiß ich im moment gar nich worauf du hinaus willst. die matrizen einzeln auszurechnen ist jedenfalls sehr viel arbeit und so langsam blicke ich bei meinen aufzeichnungen auch irgendwie überhaupt nich mehr durch. hab jetzt versucht die aufgabe mit hilfe von summen zu schreiben und zwar:
[mm] dij=\summe_{l=1}^{n}ail*blj
[/mm]
[mm] dij=\summe_{l=1}^{n}bil*alj
[/mm]
und dann hab ich die beiden gleichungen gleich gesetzt und am ende steht dann ail*blj=bil*alj nur irgendwie weiß ich nich ob ichs damit jetzt gezeigt hab und was mir die lösung jetzt eigentlich sagt??? wie immer danke schon mal vorweg :)
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> also ehrlich gesagt weiß ich im moment gar nich worauf du
> hinaus willst.
Hallo,
darauf, daß Du es Dir leicht machen sollst, nichts weiter sonst.
> die matrizen einzeln auszurechnen ist
> jedenfalls sehr viel arbeit
Eben. Mit dem Tip mit den vielen Nullen wollte ich eigentlich verhindern, daß Du bis an Dein Lebensende mit dem Vorrechnen der Nichtkommutativität der Multiplikation für nxn-Matrizen beschäftigt bist.
> und so langsam blicke ich bei
> meinen aufzeichnungen auch irgendwie überhaupt nich mehr
> durch.
Ah. Der Matrizenkoller.
Dir ist prinzipiell klar, daß Du beim Multiplizieren die Matrizen nicht einfach vertauschen darfst? ("Ja." Gut:)
Dann mach jetzt mal für [mm] n\ge2 [/mm] folgendes:
Es sei A:=( [mm] a_i_k) [/mm] die nxn-Matrix, mit [mm] a_1_1=1 [/mm] , alle anderen Einträge =0
Es sei B:=( [mm] b_i_k) [/mm] die nxn-Matrix, mit [mm] b_1_2=1 [/mm] , alle anderen Einträge =0.
Und nun berechne AB und BA und guck, welcher Eintrag sich jeweils von 0 unterscheidet.
Mach's erstmal per Hand für N=2, 3, 4, und danach schreib es auf mit den Summen.
Gruß v. Angela
hab jetzt versucht die aufgabe mit hilfe von summen
> zu schreiben und zwar:
> [mm]dij=\summe_{l=1}^{n}ail*blj[/mm]
> [mm]dij=\summe_{l=1}^{n}bil*alj[/mm]
> und dann hab ich die beiden gleichungen gleich gesetzt und
> am ende steht dann ail*blj=bil*alj nur irgendwie weiß ich
> nich ob ichs damit jetzt gezeigt hab und was mir die lösung
> jetzt eigentlich sagt??? wie immer danke schon mal vorweg
> :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
also bis hierhin hab ich jedenfalls alles verstanden :) die matrizen hab ich grad auch ausgerechnet und bei der AB an der stelle ab12 eine 1 und bei der BA eine nullmatrix raus. daraus folgt ja dann schonmal das bis zum punkt n<= 4 das kommutativgesetz nicht gilt. jetzt zu der summenschreibweise. kann ich da jetzt einfach mein schon gerechnetes nehmen und dann halt den fall a11*b12=b12*a11 (geht das überhaupt) betrachten wo dann folgt 1=0??? irgendwie bin ich mir bei den summen von nxn matrizen irgendwie noch nich so ganz sicher :(...
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> also bis hierhin hab ich jedenfalls alles verstanden :) die
> matrizen hab ich grad auch ausgerechnet und bei der AB an
> der stelle ab12 eine 1 und bei der BA eine nullmatrix raus.
> daraus folgt ja dann schonmal das bis zum punkt n<= 4 das
> kommutativgesetz nicht gilt. jetzt zu der
> summenschreibweise. kann ich da jetzt einfach mein schon
> gerechnetes nehmen und dann halt den fall a11*b12=b12*a11
> (geht das überhaupt) betrachten wo dann folgt 1=0???
> irgendwie bin ich mir bei den summen von nxn matrizen
> irgendwie noch nich so ganz sicher :(...
Hallo,
wir summieren nicht, wir multiplizieren gerade, aber ich weiß schon, was Du meinst.
Das, was Du für n=2,3,4 herausgefunden hat, ändert sich auch für n=5,6,7,.. nicht.
Jedesmal bekommst Du bei der einen Multiplikation eine Matrix, die einen Eintrag=1 hat, sonst Nullen, , bei der anderen die Nullmatrix.
Im Grunde reicht es völlig, wenn Du vorrechnest, daß der Eintrag an der Position (1,2) bei der einen Matrix =1 ist und bei der anderen =0.
Damit hast Du gezeigt, daß AB und BA verschieden sind, die Multiplikation ist also nicht kommutativ.
Mach's so: das Element, das bei AB in der 1.Zeile/2:Spalte steht ist [mm] \summe_{l=1}^na_1_lb_l_2= a_1_1b_1_2+a_1_2b_2_2+a_1_3b_3_2+...+a_1_nb_n_2= [/mm]
Und das Element, das bei BA in der 1.Zeile/2:Spalte steht ist ...,
also sind i.a. AB und BA nicht gleich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
oh cool jetzt hab ich grad meinen denkfehler begriffen und bin nun wieder glücklich :) danke schön!!!
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