Kommutativität der Addition < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 So 21.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Der Ring [mm](R,+,*)[/mm] enthalte ein Element [mm]x\not= 0[/mm] mit: [mm]x*c = 0 \Rightarrow c = 0[/mm] für alle [mm]c \in R[/mm].
Man beweise, dass dann das Ringaxiom "[mm]a + b = b + a[/mm]" aus den übrigen Ringaxiomen gefolgert werden kann.
Hinweis: Für [mm]a, b \in R[/mm] beweise man zunächst
(i) [mm]a*0=0*a=0[/mm]
(ii) [mm](-a)b = a(-b) = -(ab)[/mm]
(iii) [mm]x(a+b-a-b)=x(a+b)+(-x)(a+b)[/mm]. |
Das die Kommutativität der Addition schon auf Grund der Definition des Ringes zu folgern ist, ist klar.
also die drei Unterpunkte habe ich schon erledigt.
Den Rest habe ich so gemacht:
Auf Grund der Definition der Addition ist von [mm]-a[/mm] das Inverse zu [mm]a[/mm] analog zu [mm]b[/mm].
Daher gilt:
[mm]a+b-b-a=0[/mm]
Sei nun [mm]x\in R, x\not= 0[/mm]
[mm]\Rightarrow x(a+b-b-a)=0[/mm]
nach iii) gilt:
[mm]x(a+b-b-a)= x(a+b)+(-x)(b+a)[/mm]
[mm]\gdw x(a+b)-(x)(b+a)=0[/mm]
da [mm]x\not=0[/mm] ist das Inverse von [mm]-(x)(b+a)[/mm] gleich [mm](x)(b+a)[/mm] also kann ich hier ja das Inverse von Rechts ran addieren.
[mm]\gdw x(a+b)=x(b+a)[/mm]
[mm]\gdw a+b=b+a[/mm]
Kann ich das einfach so sagen?
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Hallo,
ich weiß nicht, warum es so ist, und ich glaub' auch nicht, daß Du schuld daran bist, aber ich kann Deinen Text nicht gescheit zitieren.
Ich lasse das mal so stehen, die überflüssigen Teile zu entfernen und Lesabakeit herzustellen, ist mir zu mühsam gerade.
> Der Ring [mm](R,+,*)[/mm] enthalte ein Element [mm]\not= 0[/mm] mit: [mm]x*c = 0 \Rightarrow c = 0[/mm]
> für alle [mm]c \in R[/mm].
Vielleicht habe ich noch nicht meine Tagesbestform erreicht, aber obige Ansage finde ich merkwürdig...
Das ist nicht ganz im O-Ton, oder?
> Man beweise, dass dann das Ringaxiom "[mm]a + b = b + a[/mm]" aus
> den übrigen Ringaxiomen gefolgert werden kann.
> Hinweis: Für [mm]a, b [mm]\in[/mm] R[mm] beweise man zunächst[/mm][/mm]
> [mm][mm] (i) [mm]a*0=0*a=0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] (ii) [mm](-a)b = a(-b) = -(ab)[/mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm](iii) [mm]x(a+b-a-b)=x(a+b)+(-x)(a+b)[/mm].[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Das die Kommutativität der Addition schon auf Grund der Definition des Ringes zu folgern ist, ist klar.[/mm][/mm]
???
Was meinst Du damit?
Du sollst hier und jetzt zeigen, daß sie sich aus der oben genannten Bedingung zusammen mit den anderen Axiomen ergibt.
> [mm][mm] also die drei Unterpunkte habe ich schon erledigt. [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]Den rest habe ich so gemacht:[/mm][/mm]
> [mm][mm] Auf Grund der Definition der Addition ist von [mm]-a[/mm] das Inverse zu [mm]a[/mm] analog zu [mm]b[/mm].[/mm][/mm]
> [mm][mm] Daher gilt: [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]a+b-b-a=0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] Sei nun [mm]x\in R, x\not= 0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]\Rightarrow x(a+b-b-a)=0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] nach iii) gilt:[/mm][/mm]
> x(a+b-b-a)= x(a+b)+(-x)(b+a)
Ich sehe nicht, wie Du hier iii) anwendest. - die Umformung an sich ist richtig.
> [mm][mm] [mm]x(a+b-b-a)= x(a+b)+(-x)(b+a)=x(a+b)-(x)(b+a)=0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]\gdw x(a+b)=x(b+a)[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]\gdw a+b=b+a[/mm][/mm][/mm]
Der Schluß ist mir nicht klar. Wie begründest Du ihn?
Gruß v. Angela
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Kann ich das einfach so sagen?[/mm][/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mo 22.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
Danke erstmal für deine Hilfe!
Ich weiß auch nicht, warum das mit dem zitieren grade nicht so klappt.
Um dem zu entgehen, habe ich meinen Gedanken im letzten Schritt noch mal mit rot hingeschrieben.
Desweiteren habe ich in der Aufgabenstellumg noch ein [mm]x\not=0[/mm] ergänzt.
Ich hoffe, es ist jetzt besser verständlich.
lg
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> Um dem zu entgehen, habe ich meinen Gedanken im letzten
> Schritt noch mal mit rot hingeschrieben.
Hallo,
ich hab' mir natürlich schon gedacht, daß Du Dir das so gedacht hast - ich hab' mir bloß nix anmerken lassen...
Ich frage nun mal ganz dumm: woher weißt Du denn, daß es ein Inverses gibt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mo 22.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
> Ich frage nun mal ganz dumm: woher weißt Du denn, daß es
> ein Inverses gibt?
Ich weiß ja, dass ein Ring aus einer Additiven Gruppe und einer Multiplikativen Halbgruppe gebildet wird.
(Eigentlich weiß man sogar, dass (G,+) abelsch sein muss, welches ich hier ja erst zeigen muss.)
Auf Grund dessen, dass es eine Gruppe ist, weiß ich, dass ein Rechtsinverses existiert. (oder?) Welches als die Negation des Elementes deviniert ist: (a)+(-a)=0
Da [mm](-x)(b+a) \in G[/mm] existiert auch hier ein Rechtsinverses.
Oder habe ich hier etwas verwendet, dass ich nicht verwenden kann?
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> Oder habe ich hier etwas verwendet, dass ich nicht
> verwenden kann?
Wir haben uns mißverstanden bzw. in Wahrheit: ich hatte nicht richtig gelesen, was Du rot eingefügt hattest, sondern nur das Triggerwort, auf das ich gewartet hatte...
Mir ging's um etwas anderes: um den Schritt von x(a+b)=x(b+a) zu a+b=b+a.
Da fehlt die Begründung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 22.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
> Mir ging's um etwas anderes: um den Schritt von
> x(a+b)=x(b+a) zu a+b=b+a.
> Da fehlt die Begründung.
ich weiß ja, dass [mm]x\not=0[/mm] gilt.
Wenn ich mir nun [mm]n:=(a+b)[/mm] und [mm]n':=(b+a)[/mm] definiere und sage, gelte nun [mm]n\not=n'[/mm].
Sei aber dennoch [mm]x*n=x*n'[/mm] dann weiß ich auf Grund der Wohldefiniertheit der Multiplikation, dass dies zum Widerspruch führt.
Daher kann ich schließen, dass [mm]n=n'[/mm] gilt und somit auch [mm](a+b)=(b+a)[/mm].
Oder?
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> > Mir ging's um etwas anderes: um den Schritt von
> > x(a+b)=x(b+a) zu a+b=b+a.
> > Da fehlt die Begründung.
>
> ich weiß ja, dass [mm]x\not=0[/mm] gilt.
> Wenn ich mir nun [mm]n:=(a+b)[/mm] und [mm]n':=(b+a)[/mm] definiere und sage,
> gelte nun [mm]n\not=n'[/mm].
> Sei aber dennoch [mm]x*n=x*n'[/mm] dann weiß ich auf Grund der
> Wohldefiniertheit der Multiplikation, dass dies zum
> Widerspruch führt.
Hallo,
ich glaube, Du bist auf dem falschen Dampfer.
Nimm doch mal die Restklassen modulo 6. Dort ist 4*2=2 und 4*5=2.
Aber es ist dennoch nicht 2=5.
Dein Argument funktioniert nicht.
Gruß v. Angela
> Daher kann ich schließen, dass [mm]n=n'[/mm] gilt und somit auch
> [mm](a+b)=(b+a)[/mm].
> Oder?
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