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| Aufgabe | | Sei (X, d) ein metrischer Raum, in dem jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge kompakt ist. Zeigen Sie, dass X vollständig ist! |
Hallo,
mein Ansatz sieht bisher so aus:
Ich muss zeigen, dass jede Cauchy-Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert.
Sei [mm] (x_n) \subset [/mm] X eine Cauchy-Folge, und A [mm] \subset [/mm] X eine kompakte Menge.
[mm] \Rightarrow [/mm] Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] x_n \in [/mm] A ODER [mm] x_n \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] A
1. Fall: [mm] x_n \in [/mm] A für unendlich viele n.
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine Teilfolge [mm] (x_{k_{n}}) \subset (x_n) [/mm] so, dass [mm] x_{k_{n}} \in [/mm] A für alle n.
Da A kompakt ist, gibt es eine Teilfolge [mm] (x_{h_{k_{n}}}) \subset (x_{k_{n}}), [/mm] sodass [mm] (x_{h_{k_{n}}}) [/mm] gegen x [mm] \in [/mm] A konvergiert.
Da [mm] (x_{h_{k_{n}}}) [/mm] eine Teilfolge von der Cauchy-Folge [mm] (x_n) [/mm] ist, konvergiert [mm] (x_n) [/mm] auch gegen x.
2. Fall: [mm] x_n \in [/mm] A für endlich viele n, oder gar keins.
Hier komme ich nicht weiter.
Ist mein Ansatz überhaupt zielführend?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Sa 19.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Deine Idee ist nicht schlecht.
Ist [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in X, so ist [mm] (x_n) [/mm] beschränkt.
Ist Dir das klar ?
Setze nun F: [mm] =\{x_n: n \in \IN\} [/mm] und [mm] A:=\overline{F} [/mm] (Abschließung von F)
Dann ist A beschränkt und abgeschlossen, also, nach Vor., kompakt.
Nun gilt: [mm] x_n \in [/mm] A für alle n.
FRED
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Danke schonmal für deine Hilfe.
> Deine Idee ist nicht schlecht.
>
> Ist [mm](x_n)[/mm] eine Cauchyfolge in X, so ist [mm](x_n)[/mm] beschränkt.
>
> Ist Dir das klar ?
Ja, das ist klar.
Ich habe meinen Beweis jetzt nochmal überarbeitet.
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchy-Folge.
[mm] \Rightarrow (x_n) [/mm] beschränkt, d.h. es existiert ein a [mm] \in [/mm] X, r > 0, sodass A := [mm] \{x_n | n \in \IN\} \subset B_r(a).
[/mm]
Wir wissen, dass [mm] \overline{A} [/mm] = A [mm] \cup [/mm] H(A) gilt und [mm] \overline{A} [/mm] abgeschlossen ist. Beachte, dass H(A) die Menge der Häufungspunkte von A ist.
Behauptung: H(A) ist beschränkt.
Sei y [mm] \in [/mm] H(A).
Dann gilt für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0: [mm] (B_{\varepsilon}(y) \backslash \{y\}) \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein n [mm] \in \IN: x_n \in (B_{\varepsilon}(y) \backslash \{y\}) \cap [/mm] A
[mm] \Rightarrow d(x_n,y) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für entsprechendes n.
[mm] \Rightarrow [/mm] d(a,y) [mm] \le d(a,x_n) [/mm] + [mm] d(x_n,y) [/mm] < r + [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und entsprechendes n.
Da wir immer so ein n finden können, wähle nun r' > 0 fest.
[mm] \Rightarrow [/mm] d(a,y) < r + r' =: s
Da y beliebig, folgt H(A) [mm] \subset B_s(a), [/mm] also H(A) beschränkt.
Setze M := [mm] max\{r,s\}.
[/mm]
Dann: [mm] \overline{A} \subset B_M(a), [/mm] d.h. [mm] \overline{A} [/mm] beschränkt.
Nach Voraussetzung ist [mm] \overline{A} [/mm] dann kompakt.
Also existiert eine Teilfolge [mm] (x_{k_n}) [/mm] von [mm] (x_n), [/mm] sodass die Teilfolge konvergiert.
Da [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchy-Folge ist, muss [mm] (x_n) [/mm] auch konvergieren.
Also ist X vollständig.
[mm] \Box
[/mm]
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal für deine Hilfe.
>
> > Deine Idee ist nicht schlecht.
> >
> > Ist [mm](x_n)[/mm] eine Cauchyfolge in X, so ist [mm](x_n)[/mm] beschränkt.
> >
> > Ist Dir das klar ?
>
> Ja, das ist klar.
>
> Ich habe meinen Beweis jetzt nochmal überarbeitet.
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy-Folge.
> [mm]\Rightarrow (x_n)[/mm] beschränkt, d.h. es existiert ein a [mm]\in[/mm]
> X, r > 0, sodass A := [mm]\{x_n | n \in \IN\} \subset B_r(a).[/mm]
>
> Wir wissen, dass [mm]\overline{A}[/mm] = A [mm]\cup[/mm] H(A) gilt und
> [mm]\overline{A}[/mm] abgeschlossen ist. Beachte, dass H(A) die
> Menge der Häufungspunkte von A ist.
>
> Behauptung: H(A) ist beschränkt.
>
> Sei y [mm]\in[/mm] H(A).
> Dann gilt für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0: [mm](B_{\varepsilon}(y) \backslash \{y\}) \cap[/mm]
> A [mm]\not= \emptyset[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> existiert ein n [mm]\in \IN: x_n \in (B_{\varepsilon}(y) \backslash \{y\}) \cap[/mm]
> A
> [mm]\Rightarrow d(x_n,y)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für entsprechendes n.
> [mm]\Rightarrow[/mm] d(a,y) [mm]\le d(a,x_n)[/mm] + [mm]d(x_n,y)[/mm] < r +
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und entsprechendes
> n.
> Da wir immer so ein n finden können, wähle nun r' > 0
> fest.
> [mm]\Rightarrow[/mm] d(a,y) < r + r' =: s
> Da y beliebig, folgt H(A) [mm]\subset B_s(a),[/mm] also H(A)
> beschränkt.
>
> Setze M := [mm]max\{r,s\}.[/mm]
> Dann: [mm]\overline{A} \subset B_M(a),[/mm] d.h. [mm]\overline{A}[/mm]
> beschränkt.
> Nach Voraussetzung ist [mm]\overline{A}[/mm] dann kompakt.
> Also existiert eine Teilfolge [mm](x_{k_n})[/mm] von [mm](x_n),[/mm] sodass
> die Teilfolge konvergiert.
> Da [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy-Folge ist, muss [mm](x_n)[/mm] auch
> konvergieren.
> Also ist X vollständig.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja
FRED
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