Kompaktheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 So 23.04.2006 | | Autor: | Ansgar82 |
Hallo!
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand ein möglichst leicht verständliches Beispiel für eine Menge nennen könnte, die beschränkt und abgeschlossen, aber nicht kompakt ist. Ich habe schon alle möglichen Quellen durchsucht, aber leider ohne Erfolg.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/65178,0.html
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 So 23.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
ich habe jetzt keine Zeit, das nachzuschauen, aber wenn ich mich recht erinnere, dann ist der Graph von y = sin(1/x), x größer Null, vereinigt mit der Strecke von (0|-1) nach (0|1) eine solche Menge.
Die Strecke ist der Abschluss, aber man kann zeigen, dass es nicht zu jeder unendlichen offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung gibt.
Kann aber sein, dass ich mich irre, daher nur als MItteilung.
Viele Grüße,
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 So 23.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe jetzt keine Zeit, das nachzuschauen, aber wenn ich
> mich recht erinnere, dann ist der Graph von y = sin(1/x), x
> größer Null, vereinigt mit der Strecke von (0|-1) nach
> (0|1) eine solche Menge.
Das ist ein Gegenbeispiel fuer die Implikation ''zusammenhaengend [mm] $\Rightarrow$ [/mm] wegzusammenhaengend''. Die Menge ist zusammenhaengend, aber nicht wegzusammenhaengend.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 So 23.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand ein möglichst
> leicht verständliches Beispiel für eine Menge nennen
> könnte, die beschränkt und abgeschlossen, aber nicht
> kompakt ist. Ich habe schon alle möglichen Quellen
> durchsucht, aber leider ohne Erfolg.
In endlichdimensionalen [mm] $\IR$- [/mm] oder [mm] $\IC$-Vektorraeumen [/mm] gilt der Satz von Heine-Borel: Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschraenkt ist.
Nimm mal einen normierten unendlichdimensionalen Vektorraum, etwa einen Banachraum, und schau dir dort die abgeschlossene Kugel mit Radius 1 an. Nach einem Resultat (was glaube ich den Namen Rieszsches Lemma oder so traegt) gibt es in dieser Kugel eine Folge, die sich nicht haeuft. Damit kann die Kugel nicht kompakt sein, obwohl sie abgeschlossen und beschraenkt ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Ansgar82 |
Ersteinmal vielen Dank für die Antworten!
Der Satz von Heine-Borel ist mir bekannt, Banachräume und das Rieszsches Lemma allerdings nicht (Analysis I/II Vorlesung). Kann es vielleicht sein, dass man dann gar kein Beispiel angeben kann? Wenn ja, wäre mir damit auch schon sehr geholfen, weil dann ja auch keine Gefahr bestehen dürfte, dass ich das in der Prüfung machen soll. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Satz von Heine-Borel ist mir bekannt, Banachräume und
> das Rieszsches Lemma allerdings nicht (Analysis I/II
> Vorlesung). Kann es vielleicht sein, dass man dann gar kein
> Beispiel angeben kann? Wenn ja, wäre mir damit auch schon
> sehr geholfen, weil dann ja auch keine Gefahr bestehen
> dürfte, dass ich das in der Prüfung machen soll. ;)
Hattet ihr mal was mit normierten unendlichdimensionalen Vektorraeumen gemacht? Etwa die stetigen Funktionen $f : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] mit der Supremumsnorm ausgestattet? Da kann man dann Gegenbeispiele finden.
Das Rieszsche Lemma sagt in etwa folgendes: Wenn du einen unendlichdimensionalen normierten Vektorraum $V$ hast und [mm] $v_1, \dots, v_n \in B_1(0)$ [/mm] (Kugel mit Radius $1$ um den Nullpunkt), dann gibt es ein [mm] $v_{n+1} \in B_1(0)$ [/mm] mit [mm] $\|v_{n+1} [/mm] - [mm] v_i\| \ge \frac{1}{2}$ [/mm] fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Du bekommst induktiv also eine Folge, deren Folgenglieder immer einen Abstand von mindestens [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] zueinander haben, es konvergiert also keine Teilfolge. Jedoch liegen alle Folgenglieder in der abgeschlossenen Kugel mit Radius $1$ um $0$.
Falls du die stetigen Funktionen mit Supremumsnorm hast: Suche dir stetige Funktionen [mm] $f_n [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IR$, [/mm] die hoechstens auf [mm] $[\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}]$ [/mm] von $0$ verschieden sind und dort irgendwo den Wert $1$ annehmen, und die alle Norm $1$ haben (irgendwelche Saegezahnfunktionen oder so). Diese Funktionen liegen in einer beschraenkten Menge, jedoch gibt es keine konvergente Teilfolge da alle den Abstand $1$ zueinander haben.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Ansgar82 |
Vielen Dank! Das mit der Sägezahnfunktion hat mir sehr geholfen.
Ich habe nur noch eine kurze Frage dazu: Es gibt also keine konvergente Teilfolge, weil [mm] $\parallel f_n [/mm] - [mm] f_m \parallel_ \infty [/mm] $ immer gleich 1 ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank! Das mit der Sägezahnfunktion hat mir sehr
> geholfen.
> Ich habe nur noch eine kurze Frage dazu: Es gibt also keine
> konvergente Teilfolge, weil [mm]\parallel f_n - f_m \parallel_ \infty[/mm]
...fuer alle $m [mm] \neq [/mm] n$...
> immer gleich 1 ist?
Genau! Angenommen, es gebe eine, etwa [mm] $f_{\alpha(n)}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann ist [mm] $(f_{\alpha(n)})_n$ [/mm] insbesondere eine Cauchy-Folge, womit fuer grosse $n, m$ die Norm [mm] $\parallel f_{\alpha(n)} [/mm] - [mm] f_{\alpha(m)} \parallel_\infty$ [/mm] beliebig klein werden muesste -- was sie aber nicht tut! Also gibts keine konvergente Teilfolge...
LG Felix
|
|
|
|
