Kompaktheit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R} \cup[/mm] [mm]{[/mm][mm] \pm \infty[/mm] [mm]}[/mm] und [mm] d_{\overline{s}}:=|\overline{s}(x)-\overline{s}(y)| x,y\in \mathbb{R}, [/mm] mit [mm] \overline{s}(x)=\begin{cases}
-1 & \mbox{für }x=-\infty\\
\frac{x}{1+|x|} & \mbox{für }x\in\mathbb{R}\\
1 & \mbox{für }x=\infty\end{cases}.
[/mm]
Zeige: [mm] (\overline{\mathbb{R}},d_{\overline{s}}) [/mm] ist kompakt. |
Hallo,
ich weiß, dass ein Raum A kompakt heißt, wenn es für jede offene Überdeckung [mm] (U_i)_{i\in I} [/mm] von A endlich viele Indizes [mm] i_1,...,i_k\in [/mm] I gibt mit
[mm] A\subset U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup [/mm] ... [mm] \cup U_{i_k}.
[/mm]
Ich weiß nur leider garnicht, wie ich das nun beweisen soll, sprich die Definition anwenden muss. Wie muss die Überdeckung gewählt werden bzw. wie ist die generelle Beweisidee hier?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 19.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Man kann das direkt mit deiner Definition von Kompaktheit zeigen. Als erstes solltest du dir überlegen wie die offenen Mengen aussehen, insbesondere die Umgebungen von [mm] $\pm\infty$, [/mm] denn solche müssen ja in jeder offenen Überdeckung von [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] enthalten sein.
Edit: Alternativ könnte man auch versuchen eine surjektive stetige Abbildung von [0,1] auf [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] zu konstruieren. Aber ich denke dann hat man die gleichen Schwierigkeiten. In jedem Falle muss man die offenen Mengen in [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] kennen.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
> Als erstes solltest du dir überlegen wie die
> offenen Mengen aussehen, insbesondere die Umgebungen von
> [mm]\pm\infty[/mm], denn solche müssen ja in jeder offenen
> Überdeckung von [mm]\overline{\IR}[/mm] enthalten sein.
>
> Gruß, Robert
Genau das weiß ich eben nicht. Ich bin mittlerweile soweit, dass ich weiß, dass ich eine "Familie" von offenen Mengen finden muss, sodass [mm] \overline{\mathbb{R}} [/mm] eine Teilmenge dieser Familie, also der Überdeckung, ist. Das ist ja meine Definition.
Wie ich mir diese Folge offener Mengen konstruiere(?), da kann ich mir irgendwie keinen Reim drauf machen. Vor allem, da jetzt auch noch das [mm] \infty [/mm] im Spiel ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 19.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Genau das weiß ich eben nicht.
Ja dann geh der Sache mal auf den Grund.
> Ich bin mittlerweile soweit, dass ich weiß, dass ich eine "Familie" von offenen
> Mengen finden muss, sodass [mm]\overline{\mathbb{R}}[/mm] eine Teilmenge
> dieser Familie, also der Überdeckung, ist. Das ist ja meine Definition.
Nein, du hast die Definition glaube ich nicht richtig verstanden. Kompaktheit bedeutet, dass es zu JEDER offenen Überdeckung [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung von [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] gibt. Es genügt nicht, einfach irgendeine endliche Überdeckung anzugeben - das geht trivialerweise immer, denn der [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] ist eine offene Überdeckung von [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] ist offen.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Soll ich mir dann irgendwie eine offene Überdeckung wählen, meinetwegen sei { [mm] U_\lambda |\lambda \in \mathbb{N} [/mm] } offene Überdeckung von [mm] \overline{\mathbb{R}} [/mm] oder muss man die hier explizit angeben in irgendeiner Form (das kriege ich nämlich nicht hin)? Ich muss doch irgendwie auch die Metrik später ins Spiel bringen, aber wo?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Mi 20.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Sei [mm] $\mathcal{O}=\{O_i\}_{i\in I}$ [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $\overline{\IR}$. [/mm] Dann gibt es [mm] $O_{i_1},O_{i_2}\in \mathcal{O}$ [/mm] mit [mm] $\infty\in O_1$ [/mm] und [mm] $-\infty\in O_2$. [/mm] Nun zeigst du:
1) Jede Umgebung von [mm] $\pm\infty$ [/mm] enthält ein Intervall der Form [mm] $(a,\infty]$ [/mm] bzw. [mm] $[-\infty,b)$ [/mm] für gewisse [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] - dafür brauchst du die Definition deiner Metrik. (mittelschwer)
2) [mm] $K:=\overline{\IR}\setminus(O_{i_1}\cup O_{i_2})\subset \IR$ [/mm] ist abgeschlossen und im Intervall [b,a] enthalten (leicht)
3) [b,a] ist kompakt in [mm] $(\overline{\IR},d)$ [/mm] (keine Ahnung wie schwer, ich hoffe mal das gilt  )
Damit wärst du am Ziel, denn: Aus 2) und 3) folgt, dass K als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge kompakt ist, d.h. endlich viele [mm] $O_i$ [/mm] überdecken bereits K, also kann ich noch die beiden [mm] $O_{i_{1,2}}$ [/mm] dazunehmen und habe eine endliche Überdeckung von [mm] $\overline{\IR}$.
[/mm]
Es ist gut möglich, dass es irgendwie leichter geht, aber auf jeden Fall machst du mit diesem Schlachtplan nix falsch.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit: in metrischen Räumen gilt:
Überdeckungskompakt = Folgenkompakt
Im Folgenden sei [mm] $d:=d_{\overline{s}}$. [/mm] Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in $ [mm] (\overline{\mathbb{R}},d_{\overline{s}}) [/mm] $
Fall 1: [mm] x_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] für unendlich viele n. Dann gibt es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit [mm] x_{n_k} [/mm] = [mm] \infty [/mm] für alle k. Damit:
[mm] d(x_{n_k}, \infty) [/mm] = 0 für alle k
und somit konvergiert [mm] (x_{n_k}) [/mm] bezügl. d.
Fall 2: [mm] x_n [/mm] = [mm] -\infty [/mm] für unendlich viele n. Dann gibt es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit [mm] x_{n_k} [/mm] = [mm] -\infty [/mm] für alle k. Damit:
[mm] d(x_{n_k}, -\infty) [/mm] = 0 für alle k
und somit konvergiert [mm] (x_{n_k}) [/mm] bezügl. d.
Fall 3: [mm] x_n \in \IR [/mm] für fast alle n. Ohne Beschr. der Allgemeinheit: [mm] x_n \in \IR [/mm] für jedes n.
Fall 3.1: [mm] (x_n) [/mm] beschränkt. nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enth. [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}). [/mm] Sei [mm] x_0 [/mm] ihr Limes. Dann gilt aber auch
[mm] \frac{x_{n_k}}{1+|x_{n_k}|} \to \frac{x_0}{1+|x_0|} [/mm] (k [mm] \to \infty)
[/mm]
also
[mm] $d(x_{n_k}, x_0) \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)$
[/mm]
Fall 3.2: [mm] (x_n) [/mm] ist nicht nach oben beschränkt. dann gibt es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit [mm] x_{n_k} \to \infty [/mm] für k [mm] \to \infty. [/mm] Also gilt
[mm] \frac{x_{n_k}}{1+|x_{n_k}|} \to [/mm] 1 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
uns somit
[mm] d(x_{n_k}, \infty) \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
Fall 3.2: [mm] (x_n) [/mm] ist nicht nach unten beschränkt. dann gibt es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit [mm] x_{n_k} \to -\infty [/mm] für k [mm] \to \infty. [/mm] Also gilt
[mm] \frac{x_{n_k}}{1+|x_{n_k}|} \to [/mm] -1 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
uns somit
[mm] d(x_{n_k}, -\infty) \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
|
|
|
|
