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| Aufgabe | Sei [mm] $M:=\left\{\bruch{4n^{2}+2n+1}{n^{2}+5} \ : \ n \in \IN\right\}$.
[/mm]
Welche der drei Mengen $M, M [mm] \cup\{4\}, [/mm] M [mm] \cup \{6\}$, [/mm] jeweils aufgefasst als Teilmengen der reellen Zahlen ist kompakt und welche nicht? Begründe! |
Hallöchen,
also es sind ja die ersten beiden Mengen kompakt. Mir fällt es nur schwer das zu begründen wie würde ich das mathematisch korrekt machen? Damit eine Menge kompakt ist muss der Grenzwert ja in ihr enhalten sein und das ist nur bei den ersten beiden Mengen der Fall..
Aber diese Erklärung ist halt ziemlich schwammig. Kann mir jemand sagen, wie ich das mathematisch korrekt begründen müsste?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Do 06.10.2011 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde hier ueberpruefen, ob die entsprechenden Mengen beschraenkt und abgeschlossen sind, wobei die Beschraenktheit wohl offensichtlich ist.
Der Grenzwert der Folge [mm] $(\bruch{4n^{2}+2n+1}{n^{2}+5})_{n\in \IN}$ [/mm] ist offenbar $4$ und dies ist auch der einzige Haeufungspunkt der Menge $M$. Damit steht und faellt die Abgeschlossenheit mit dieser Zahl.
Wenn [mm] $4\in [/mm] M$ gilt, dann ist $M$ abgeschlossen (und auch [mm] $M\cup\{6\}$), [/mm] wenn nicht, dann nicht. [mm] $M\cup\{4\}$ [/mm] ist folglich immer kompakt.
Mein Text ist auch kein strenger Beweis, aber vielleicht hilft er Dir ja trotzdem.
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> Welche der drei Mengen [mm]M, M \cup\{4\}, M \cup \{6\}[/mm],
> jeweils aufgefasst als Teilmengen der reellen Zahlen ist
> kompakt und welche nicht? Begründe!
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> Hallöchen,
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> also es sind ja die ersten beiden Mengen kompakt. Mir
> fällt es nur schwer das zu begründen wie würde ich das
> mathematisch korrekt machen? Damit eine Menge kompakt ist
> muss der Grenzwert ja in ihr enhalten sein und das ist nur
> bei den ersten beiden Mengen der Fall..
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> Aber diese Erklärung ist halt ziemlich schwammig. Kann mir
> jemand sagen, wie ich das mathematisch korrekt begründen
> müsste?
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> LG Schmetterfee
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