Kompaktheit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:28 Di 04.06.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | | Entscheiden sie mit begrüdnung ob die Menge [mm] $C:=\{f\in C^0[0,1]:f(x)=x^2+ax+b$ für alle $x\in [0,1]$, mit $a,b \in [-2,2]\}$ [/mm] in [mm] $(C^0[0,1], \|\cdot\|_{\infty})$ [/mm] kompakt ist |
Also zunähst einmal, die Menge ist kompakt. (Oder ?)
Ich wollte das ganze per folgenkompaktheit zeigen.
Jedes [mm] f_n(x) [/mm] konvergiert gegen ein [mm] x\in [/mm] C.
Ich dachte mir, dass es aussreicht das ganze vll durch gleichmäßiger konvergenz der funktionsfolge zu begründen.
Dann muss für jede beliebiege folge [mm] f_n, [/mm] mit [mm] f_n\to [/mm] f auch [mm] f\in [/mm] C sein.
Reicht es dann nicht theorethisch aus, wenn f auf [0,1] stetig ist und die funktion gleichmäßig dagagen konvergiert.
Also müsste [mm] \|f_n-f\| \to [/mm] 0 gegehen.
Da [mm] f_n [/mm] nach vorraussetzung stetig ist, ist also auch f stetig und somit ein element aus C.
Auf [0,1] nimmt die funktion außerdem ihr Maximum an, also ist sie beschränkt.
gilt nicht auch f(x) [mm] \leq [/mm] 6 ?
Nur müsste die gleichmäßige konvergenz genauer begründet werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]C:=\{f\in C^0[0,1]:f(x)=x^2+ax+b[/mm] für alle [mm]x\in [0,1][/mm], mit
> [mm]a,b \in [-2,2]\}[/mm] in [mm](C^0[0,1], \|\cdot\|_{\infty})[/mm]
?? was ist denn nun die Aufgabe?
> Also
> zunähst einmal, die Menge ist kompakt. (Oder ?)
Das weiß ich momentan genauso wenig, wie Du. Warum untersuchst Du
das denn?
> Ich wollte das ganze per folgenkompaktheit zeigen.
Kann man natürlich: ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~merkl/ss05/m2a/kompakt.pdf
> Jedes [mm]f_n(x)[/mm] konvergiert gegen ein [mm]x\in[/mm] C.
[mm] $f_n(x)$ [/mm] ist der Funktionswert der Funktion namens [mm] $f_n$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,.$ [/mm] Und es
ist schlecht, dann nochmal $x [mm] \in [/mm] C$ zu schreiben, wenn Du vorher [mm] $f_n(x)$ [/mm]
geschrieben hast!
Außerdem ist der Satz unsinnig, und das ist so auch nicht zu zeigen!
> Ich dachte mir, dass es aussreicht das ganze vll durch
> gleichmäßiger konvergenz der funktionsfolge zu
> begründen.
Was willst Du denn begründen? Dir ist anscheinend noch nicht mal klar,
was Folgenkompaktheit bedeutet!
> Dann muss für jede beliebiege folge [mm]f_n,[/mm] mit [mm]f_n\to[/mm] f auch
> [mm]f\in[/mm] C sein.
Quatsch - das hat nichts mit Folgenkompaktheit, sondern mit Abgeschlossenheit
zu tun!
> Reicht es dann nicht theorethisch aus, wenn f auf [0,1]
> stetig ist und die funktion gleichmäßig dagagen
> konvergiert.
Nein, zumal dieser Satz sinnfrei ist!
> Also müsste [mm]\|f_n-f\| \to[/mm] 0 gegehen.
Ich dachte, Du setzt [mm] $f_n \to [/mm] f$ voraus!
> Da [mm]f_n[/mm] nach vorraussetzung stetig ist, ist also auch f
> stetig und somit ein element aus C.
Die Elemente aus [mm] $C\,$ [/mm] sind aber nicht nur stetig!
> Auf [0,1] nimmt die funktion außerdem ihr Maximum an, also
> ist sie beschränkt.
Das wäre richtig: Stetige Funktion auf kompakten Mengen sind beschränkt!
> gilt nicht auch f(x) [mm]\leq[/mm] 6 ?
?????????????????
> Nur müsste die gleichmäßige konvergenz genauer
> begründet werden.
Nein, Du musst den ganzen Unsinn da oben erstmal sortieren. Erstmal
sollte die Aufgabe vollständig und vernünftig da stehen, und wenn Du
dann weiter machst, solltest Du Dir erstmal überlegen, was Du nun weißt,
und was zu machen ist!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Di 04.06.2013 | | Autor: | Frosch20 |
Okay stimmt ich hab da echt grade ein wenig durcheinander gebracht.
Also C ist genau dann kommpackt, wenn jede folge aus C eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in C besitzt.
Sei [mm] f_n [/mm] eine Folge in C. Der Funktionsraum [mm] C^0[0,1] [/mm] besteht aus stetig diffbaren funktionen im Intervall [0,1].
Also besteht der raum aus beschränkten funktionen.
Also ist auch jede folge [mm] f_n \in [/mm] C beschränkt. Somit gibt es eine konvergente teilfolge [mm] f_{nj}. [/mm] Diese folge müsste dann ihren grenzwert in C haben. Wenn die menge abgeschlossen wäre, wäre das klar. Das weiss ich aber noch nicht.
Ich muss also zeigen, dass jede folge [mm] f_n [/mm] gegen einen element aus C konvergiert.
Sei [mm] (f_n)_{n\in \IN} [/mm] eien Folge in C.
Da die Menge C aus stetig diffbaren funktionen auf dem Intervall [0,1] besteht sind nehmen die funktionen auf dem Intervall ihr minimum und maximum an. Sie sind also beschränkt. Also ist acuh die folge [mm] (f_n)_{n\in \IN} [/mm] beschränkt und besitzt somit eine konvergente Teilfolge [mm] (f_jn)_{n\in \IN}. [/mm] Da das Intervall [0,1] auch abgeschlossen ist, ist es kompakt.
Aber ich weiss nicht wie ich nun folgern soll, dass der Grenzwert der teilfolge immer noch in der menge liegt :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Frosch,
> Okay stimmt ich hab da echt grade ein wenig durcheinander
> gebracht.
>
> Also C ist genau dann kommpackt, wenn jede folge aus C eine
> konvergente Teilfolge mit Grenzwert in C besitzt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei [mm]f_n[/mm] eine Folge in C. Der Funktionsraum [mm]C^0[0,1][/mm] besteht
> aus stetig diffbaren funktionen im Intervall [0,1].
nein - da steht doch noch viel mehr dabei:
Ein Element $f [mm] \in [/mm] C$ ist die Einschränkung einer normierten Polynomfunktion
- vom Grad 2 - auf $[0,1]$, hat also die Form [mm] $f(x)=x^2+ax+b$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$),
wobei $-2 [mm] \le [/mm] a,b [mm] \le [/mm] 2$ in Abhängigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] gegeben (oder zu finden)
sind. Alleine diese Information würde schon $f [mm] \in C^0[0,1]$ [/mm] implizieren.
Zu zeigen ist nun:
Sind [mm] $(f_n)_n$ [/mm] Funktionen in [mm] $C\,,$ [/mm] d.h. es gilt für alle [mm] $n\,,$ [/mm] dass [mm] $f_n \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] sind
und es gibt [mm] $a_n,b_n \in [/mm] [-2,2]$ so, dass für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt:
[mm] $$f_n(x)=x^2+a_n*x+b_n\,,$$
[/mm]
so gibt es eine Teilfolge [mm] $(f_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(f_n)_n\,,$ [/mm] die bzgl. der durch [mm] $\|.\|:=\|.\|_\infty$ [/mm] induzierten
Metrik gegen ein $f [mm] \in [/mm] C$ konvergiert.
Zu zeigen ist also: Es existiert eine Teilfolge [mm] $(f_{n_k})_k$ [/mm] derart, dass es $a,b [mm] \in [/mm] [-2,2]$
so gibt, dass für $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2+ax+b$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$) gilt
[mm] $\|f_{n_k}-f\| \to [/mm] 0$ bei [mm] $\red{\;k\;} \to \infty\,.$
[/mm]
Vielleicht hilft's dabei ja, dass $[-2,2]$ kompakt ist und die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine in $[-2,2]$
konvergente Teilfolge [mm] ${(a_{n_k})}_k$ [/mm] hat, und dann hat [mm] ${(b_{n_k})}_k$ [/mm] eine in $[-2,2]$ konvergente Teilfolge
[mm] ${(b_{n_{k_\ell}})}_\ell$ [/mm] - so dass man auch direkt die Teilfolge [mm] ${(f_{n_{k_\ell}})}_\ell$ [/mm] kurz als Teilfolge [mm] ${(f_{n'_k})}_k$ [/mm] bezeichnen
kann...
Damit hätte man wenigstens schonmal Kandidaten $a,b [mm] \in [/mm] [-2,2]$:
[mm] $$a:=\lim_{k \to \infty}a_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} a_{n_{k_\ell}}=\lim_{k \to \infty}a_{n_k}$$
[/mm]
und
[mm] $$b:=\lim_{k \to \infty}b_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} b_{n_{k_\ell}}\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass [mm] ${(b_{n_k})}_k$ [/mm] nicht zu konvergieren braucht!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Zu zeigen ist also: Es existiert eine Teilfolge [mm](f_{n_k})_k[/mm]
> derart, dass es [mm]a,b \in [-2,2][/mm]
> so gibt, dass für [mm]f \colon [0,1] \to \IR[/mm]
> mit [mm]f(x):=x^2+ax+b[/mm] ([mm]x \in [0,1][/mm]) gilt
>
> [mm]\|f_{n_k}-f\| \to 0[/mm] bei [mm]\red{\;k\;} \to \infty\,.[/mm]
Ah okay
> Vielleicht hilft's dabei ja, dass [mm][-2,2][/mm] kompakt ist und
> die Folge [mm](a_n)_n[/mm] eine in [mm][-2,2][/mm]
> konvergente Teilfolge [mm]{(a_{n_k})}_k[/mm] hat, und dann hat
> [mm]{(b_{n_k})}_k[/mm] eine in [mm][-2,2][/mm] konvergente Teilfolge
> [mm]{(b_{n_{k_\ell}})}_\ell[/mm] - so dass man auch direkt die
> Teilfolge [mm]{(f_{n_{k_\ell}})}_\ell[/mm] kurz als Teilfolge
> [mm]{(f_{n'_k})}_k[/mm] bezeichnen
> kann...
>
> Damit hätte man wenigstens schonmal Kandidaten [mm]a,b \in [-2,2][/mm]:
>
> [mm]a:=\lim_{k \to \infty}a_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} a_{n_{k_\ell}}=\lim_{k \to \infty}a_{n_k}[/mm]
>
> und
> [mm]b:=\lim_{k \to \infty}b_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} b_{n_{k_\ell}}\,.[/mm]
>
> (Beachte, dass [mm]{(b_{n_k})}_k[/mm] nicht zu konvergieren
> braucht!)
Also [mm]{(b_{n_k})}_k[/mm] muss nicht konvergieren, weil es nach der folgenkompaktheit nur eine konvergente teilfolge geben muss oder ? Also die folge nur einen HP haben muss.
Aber wieso muss dann [mm]{(a_{n_k})}_k[/mm] konvergieren ? Auch hier muss doch ledeglich eine teilfolge konvergieren oder nicht ?
Also wir wissen [-2,2] ist kompakt. Also gibt es nach der folgenkompaktheit eine Teilfolge von [mm] (a_n)_{n\in \IN}, [/mm] und [mm] (b_n)_{n\in \IN}, [/mm] sodass
$ [mm] {(a_{n_{k_\ell}})}_\ell [/mm] $ und $ [mm] {(b_{n_{k_\ell}})}_\ell [/mm] $ gegen einen element a,b [mm] \in [/mm] [-2,2] konvergieren.
Also gilt:
$ [mm] a:=\lim_{k \to \infty}a_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} a_{n_{k_\ell}}=\lim_{k \to \infty}a_{n_k} [/mm] $
$ [mm] b:=\lim_{k \to \infty}b_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} b_{n_{k_\ell}}\,. [/mm] $
Damit haben wir dann schonmal teilfolgen $ [mm] {(f_{n_{k_\ell}})}_\ell [/mm] $ = $ [mm] {(f_{n'_k})}_k [/mm] $
von $ [mm] f_n(x)=x^2+a_n\cdot{}x+b_n\,, [/mm] $ gefunden.
Wir müssen also nur noch begründen, warum $ [mm] \|f_{n_k}-f\| \to [/mm] 0 $ bei $ [mm] \red{\;k\;} \to \infty\,. [/mm] $ gilt.
Da $ f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ ebenfalls auf einem kompakten Intervall definiert ist, konvergiert die teilfolge [mm] {(f_{n'_k})}_k [/mm] ebenfall nach der folgenkompaktheit gegen ein $ f [mm] \in C^0[0,1] [/mm] $ und somit gilt:
$ [mm] \|f_{n_k}-f\| \to [/mm] 0 $ bei $ [mm] {\;k\;} \to \infty\,. [/mm] $
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:06 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz:
> > Zu zeigen ist also: Es existiert eine Teilfolge [mm](f_{n_k})_k[/mm]
> > derart, dass es [mm]a,b \in [-2,2][/mm]
> > so gibt, dass für [mm]f \colon [0,1] \to \IR[/mm]
> > mit [mm]f(x):=x^2+ax+b[/mm] ([mm]x \in [0,1][/mm]) gilt
> >
> > [mm]\|f_{n_k}-f\| \to 0[/mm] bei [mm]\red{\;k\;} \to \infty\,.[/mm]
>
> Ah okay
>
> > Vielleicht hilft's dabei ja, dass [mm][-2,2][/mm] kompakt ist und
> > die Folge [mm](a_n)_n[/mm] eine in [mm][-2,2][/mm]
> > konvergente Teilfolge [mm]{(a_{n_k})}_k[/mm] hat, und dann hat
> > [mm]{(b_{n_k})}_k[/mm] eine in [mm][-2,2][/mm] konvergente Teilfolge
> > [mm]{(b_{n_{k_\ell}})}_\ell[/mm] - so dass man auch direkt die
> > Teilfolge [mm]{(f_{n_{k_\ell}})}_\ell[/mm] kurz als Teilfolge
> > [mm]{(f_{n'_k})}_k[/mm] bezeichnen
> > kann...
> >
> > Damit hätte man wenigstens schonmal Kandidaten [mm]a,b \in [-2,2][/mm]:
>
> >
> > [mm]a:=\lim_{k \to \infty}a_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} a_{n_{k_\ell}}=\lim_{k \to \infty}a_{n_k}[/mm]
>
> >
> > und
> > [mm]b:=\lim_{k \to \infty}b_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} b_{n_{k_\ell}}\,.[/mm]
>
> >
> > (Beachte, dass [mm]{(b_{n_k})}_k[/mm] nicht zu konvergieren
> > braucht!)
>
> Also [mm]{(b_{n_k})}_k[/mm] muss nicht konvergieren, weil es nach
> der folgenkompaktheit nur eine konvergente teilfolge geben
> muss oder ? Also die folge nur einen HP haben muss.
Wir wissen ja nur, dass die Folge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] konvergiert, denn sie ist als Teilfolge
von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] wegen der Kompaktheit von $[-2,2]$ gerade so gewählt worden.
Daraus kann man nicht ohne weiteres etwas auf [mm] $(b_{n_k})_k$ [/mm] schließen. Die Argumentation
ist die, die man auch bei Folgen in [mm] $\IC$ [/mm] verwendet.
> Aber wieso muss dann [mm]{(a_{n_k})}_k[/mm] konvergieren ?
Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge im Kompaktum $[-2,2]$ ist, hat [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine in $[-2,2]$ konvergente
Teilfolge. Wir bezeichnen diese halt mit [mm] $(a_{n_k})_k\,.$
[/mm]
> Auch hier
> muss doch ledeglich eine teilfolge konvergieren oder nicht
> ?
>
>
>
> Also wir wissen [-2,2] ist kompakt. Also gibt es nach der
> folgenkompaktheit eine Teilfolge von [mm](a_n)_{n\in \IN},[/mm] und
> [mm](b_n)_{n\in \IN},[/mm] sodass
>
> [mm]{(a_{n_{k_\ell}})}_\ell[/mm] und [mm]{(b_{n_{k_\ell}})}_\ell[/mm] gegen
> einen element a,b [mm]\in[/mm] [-2,2] konvergieren.
Das ist schlecht formuliert:
Die Folgen [mm] ${(a_{n_{k_\ell}})}_\ell$ [/mm] bzw. [mm] ${(b_{n_{k_\ell}})}_{\ell}$ [/mm] sind halt auch Teilfolgen von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(b_n)_n\,,$
[/mm]
und diese sind halt wegen der obigen Kompaktheitsargumente eben so
gewählt worden, dass
[mm] $$a_{n_{k_\ell}} \to [/mm] a$$
und
[mm] $$b_{n_{k_\ell}} \to [/mm] b$$
für [mm] $\ell \to \infty\,.$
[/mm]
(Nebenbei: Warum ist eine Teilfolge einer Teilfolge eigentlich auch direkt
selbst eine Teilfolge der Ausgangsfolge?)
> Also gilt:
> [mm]a:=\lim_{k \to \infty}a_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} a_{n_{k_\ell}}=\lim_{k \to \infty}a_{n_k}[/mm]
>
> [mm]b:=\lim_{k \to \infty}b_{n'_k}=\lim_{\ell \to \infty} b_{n_{k_\ell}}\,.[/mm]
>
> Damit haben wir dann schonmal teilfolgen
Das ist EINE Teilfolge; aber wohl eine "geeignete"!
> [mm]{(f_{n_{k_\ell}})}_\ell[/mm] = [mm]{(f_{n'_k})}_k[/mm]
>
> von [mm]f_n(x)=x^2+a_n\cdot{}x+b_n\,,[/mm] gefunden.
>
> Wir müssen also nur noch begründen, warum [mm]\|f_{n_k}-f\| \to 0[/mm]
Vorsicht: [mm] $\|f_{n\red{\,'}_k}-f\| \to [/mm] 0$
> bei [mm]\red{\;k\;} \to \infty\,.[/mm] gilt.
>
> Da [mm]f \colon [0,1] \to \IR[/mm] ebenfalls auf einem kompakten
> Intervall definiert ist, konvergiert die teilfolge
> [mm]{(f_{n'_k})}_k[/mm] ebenfall nach der folgenkompaktheit
?? Die wollen wir doch zeigen!
> gegen
> ein [mm]f \in C^0[0,1][/mm] und somit gilt:
>
> [mm]\|f_{n_k}-f\| \to 0[/mm] bei [mm]{\;k\;} \to \infty\,.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nein: Du musst nun (etwa) begründen: Aus $a_{n\red{\,'}_k} \to a$ und $b_{n\red{\,'}_k} \to b$
folgt
$\sup\{\;|(x^2+a_{n\red{\,'}_k}}*x+b_{n\red{\,'}_k}})-(x^2+a*x+b)|:\;\; x \in [0,1]\;\} \to 0$ bei $k \to \infty\,.$
(Beachte dabei: Es wurde bereits $a,b \in [-2,2]$ begründet!)
P.S. Letzteres ist ziemlich leicht, benutze dazu
$$|(x^2+a_{n\red{\,'}_k}}*x+b_{n\red{\,'}_k}})-(x^2+a*x+b)|=|(a_{n\red{\,'}_k}-a)*x|+|b_{n\red{\,'}_k}}-b| \le |a_{n\red{\,'}_k}-a|+|b_{n\red{\,'}_k}}-b|$$
für alle $x \in [0,1]\,.$
Gruß,
Marcel
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