Kompaktheit von Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 So 23.11.2014 | | Autor: | Bushman |
| Aufgabe | Es seien H ein Hilbertraum, T ∈ L(H) kompakt und S ∈ L(H). Weisen Sie nach, dass die Produkte
ST und T S kompakte Operatoren sind. |
Hallo liebes Forum,
mich verwirrt die oben beschriebene Aufgabe etwas. Es ist zu zeigen, dass das Produkt eines kompakten Operator mit einem beliebigen Operator kompakt ist (falls ich das richtig verstehe).
Mein Ansatz:
Die Definition eines Kompakten Operator ist doch das eine Folge von endlichdimensionalen Operatoren existiert sodass [mm] ||T-T_n|| [/mm] -> 0 : n-> [mm] \infty [/mm] gilt. Demnach würde auch [mm] ||T-T_n||*S [/mm] -> 0 : n-> /infty gelten.
Ich glaube allerdings nicht, dass man das so sagen kann und würde mich über jede Hilfe freuen.
lg Bushman
weil es verlangt war: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 So 23.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> Hallo liebes Forum,
> mich verwirrt die oben beschriebene Aufgabe etwas. Es ist
> zu zeigen, dass das Produkt eines kompakten Operator mit
> einem beliebigen Operator kompakt ist (falls ich das
> richtig verstehe).
Nicht beliebig, sondern stetig.
>
> Mein Ansatz:
>
> Die Definition eines Kompakten Operator ist doch das eine
> Folge von endlichdimensionalen Operatoren existiert sodass
> [mm]||T-T_n||[/mm] -> 0 : n-> [mm]\infty[/mm] gilt. Demnach würde auch
> [mm]||T-T_n||*S[/mm] -> 0 : n-> /infty gelten.
Ok, im Hilbertraum kann man das als Definition durchgehen lassen.
Sei T kompakt, und [mm] $T_n$ [/mm] eine approximierende Folge mit endlichdimensionalem Bild. Was kannst du über das Bild von $T_nS$ sagen? Gilt [mm] $\|T_nS-TS\|\to [/mm] 0$?
>
> Ich glaube allerdings nicht, dass man das so sagen kann und
> würde mich über jede Hilfe freuen.
>
> lg Bushman
>
> weil es verlangt war: Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
>
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Bushman |
Hallo und erstmal danke für deine Antwort, sry für meine späte Reaktion ich war heute Vormittag nicht zu Hause.
Ich weiß, nicht genau wie ich eine Aussage über das Bild von [mm] T_n*S [/mm] machen kann, da ich diese ja eigentlich nicht kenne. [mm] T_n [/mm] hat ein endlichdimensionales Bild, folgt darauß, dass auch [mm] T_n*S [/mm] ein endlichdimensionales Bild besitzt ? Es würde mir logisch erscheinen aber ich bin mir sehr unsicher. Falls dies gelten sollte müsste doch [mm] \parallel TS-T_nS\parallel [/mm] -> 0 : [mm] T_n [/mm] -> T gelten.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und erstmal danke für deine Antwort, sry für meine
> späte Reaktion ich war heute Vormittag nicht zu Hause.
>
> Ich weiß, nicht genau wie ich eine Aussage über das Bild
> von [mm]T_n*S[/mm] machen kann, da ich diese ja eigentlich nicht
> kenne. [mm]T_n[/mm] hat ein endlichdimensionales Bild, folgt
> darauß, dass auch [mm]T_n*S[/mm] ein endlichdimensionales Bild
> besitzt ?
ja, natürlich. Es ist $(T_nS)(H) [mm] =T_n(S(H)) \subseteq T_n(H)$ [/mm] und [mm] $dimT_n(H) [/mm] < [mm] \infty.$
[/mm]
> Es würde mir logisch erscheinen aber ich bin mir
> sehr unsicher. Falls dies gelten sollte müsste doch
> [mm]\parallel TS-T_nS\parallel[/mm] -> 0 : [mm]T_n[/mm] -> T gelten.
Ja, wenn [mm] ||T_n-T|| \to [/mm] 0, so gilt auch
$||T_nS-TS|| [mm] \to [/mm] 0,$
denn $||T_nS-TS|| [mm] =||(T_n-T)S|| \le ||T_n-T||*||S||$
[/mm]
Jetzt hätte ich noch eine Frage: welcher Vollpfosten hat Euch eigentlich die obige Def. von "kompakter Operator" gegeben ?
Klar, wie mein Vorredner schon gesagt hat, in Hilberträumen kann man das so machen, aber in bel normierten Räumen taugt Eure "Definition" nichts.
FRED
>
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Bushman |
Danke, für die schnelle Hilfe.
Und sry, dass ich vergessen habe bei der Aufgabenstellung zu erwähnen, das ein Hilbertraum vorausgesetzt ist.
Ich weiß nicht, ob es angemessen ist hier noch eine weitere Frage zu stellen oder dazu einen neuen Thread aufzumachen. Aber ich denke die Frage passt gut zum Thema Kompakte Operatoren.
Und zwar soll ich Kompaktheit eines Integraloperators:
T: [mm] L^{2}(\IR) [/mm] -> [mm] L^{2}(\IR) [/mm] : (Tf)(x) = [mm] \integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy [/mm] , [mm] k\in L^{2}(\IR^{2}) [/mm] zeigen. Vorrausgesetzt ist hierbei, dass eine Folge von Treppenfunktionen [mm] k_n [/mm] existiert, sodass [mm] \parallel k-k_n \parallel [/mm] -> 0 : n -> [mm] \infty [/mm] bezüglich der [mm] L^{2} [/mm] Norm gilt.
Unter dieser Vorraussetzung gibt es eine Folge von Operatoren [mm] (T_n [/mm] f)(x) = [mm] \integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy [/mm] mit [mm] T_n [/mm] -> T : n -> [mm] \infty. [/mm]
[mm] \parallel T-T_n \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{\IR}{[\integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy - \integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy]^{2} dx}}
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich einfach behaupten kann, dass [mm] \integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy [/mm] -> [mm] \integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy [/mm] : n -> [mm] \infty [/mm] gilt und das ganze somit gegen 0 geht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Di 25.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Das hast Du doch hier
https://matheraum.de/read?t=1042895
schon
FRED
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