Kompl. Zahl, Real,Imaginärteil < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Nemo |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die komplexe Zahl z, falls gilt:
|z|= 1 und Im(i [mm]\bar z [/mm]) = 1. |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie die komplexe Zahl z, falls gilt:
arg([mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und Re(z)+Im(z) = -1. |
| Aufgabe 3 | Bestimmen Sie den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahl
z = [mm] \bruch{i}{1-e^\bruch{i*\pi}{2}} [/mm]. |
| Aufgabe 4 | Bestimmen Sie den Betrag und das Argument der komplexen Zahl
[mm] z = (1-i)^4 [/mm]. |
| Aufgabe 5 | Bestimmen Sie alle Lösungen z der Gleichung
[mm] z \bar z + \bruch{z}{\bar z} = 3 [/mm]. |
Hallo zusammen!
Ich gerate ein bisschen ins Stocken bei den Komplexen Zahlen.
Das Problem ist, dass ich nicht wirklich weiss, wie ich womit anfange.
Was ich bisher versucht habe:
Aufgabe 1: [mm] |z|= r = \wurzel{x^2} + {y^2} [/mm]
Jetzt habe ich einfach bei |z *[mm] a^2 [/mm]|= 1 die Wurzel gezogen (darf man das überhaupt?) und erhalte |z|=r=1. Nun sehe ich nur noch eine Formel, die mir weiter helfen könnte: [mm] [mm] \bar [/mm] z [mm] = x-iy. Das könnte ich nun in Im(i [mm]\bar z [/mm]) = 1 einsetzen aber das bringt mich ja nicht wirklich weiter oder?
Aufgabe 2: Ich habe nur die Formeln: Re(z) = x = r*cos(Phi) und Im(z) = y = r*sin(Phi). Ich würde jetzt nun Re(z)+Im(z) = -1 jeweils nach Re(z) und nach Im(z) auflösen. Aber: Mir fehlt das Argument, bzw. ich kann es nicht "vollständig" auflösen, so, dass ich [mm] \bruch {1}{z} [/mm] vom Argument loswerde. Ich finde hier keine passende Formel dazu.
Aufgabe 3: Ich habe hier eine Division gemacht aber schnell eingesehen, dass das mit der e-Funktion eine recht langwierige Angelegenheit ist, vorallem beim Ausmultiplizieren im Nenner. Ist dieser Weg richtig oder sollte ich hier anders ansetzen?
Aufgabe 4: [mm] |z|= r = \wurzel{x^2} + {y^2} [/mm] Also setze ich 1 und i ein: [mm] |z|= r = \wurzel{1^2} + {-1^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1} + {1} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm]
Zudem ist Phi=arctan [mm] (\bruch{y}{x}) [/mm] und ich setze x und y ein: Phi=arctan [mm] (\bruch{-1}{1}) [/mm] , was dann [mm] \bruch{-\pi}{4} [/mm] gibt. Stimmt das?
Aufgabe 5: Die Formel [mm] z* \bar z = |z|^2 = x^2 + y^2 [/mm] habe ich. Ich würde nun alle [mm]\bar z [/mm] ersetzen durch [mm] \bruch {z}{|z|^2} [/mm] aber da lande ich auch wieder schnell in einer Sackgasse.
Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn man mir da einen Ansatztipp geben könnte und evt. einen Trick, wie ich sehe, mit welcher Gleichung ich anfangen soll zu arbeiten.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Nemo,
> Bestimmen Sie die komplexe Zahl z, falls gilt:
> |z *[mm] a^2 [/mm]|= 1 und Im(i [mm]\bar z [/mm]) = 1.
> Bestimmen Sie die komplexe Zahl z, falls gilt:
> arg([mm] \bruch{1}{z}[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und Re(z)+Im(z) = -1.
> Bestimmen Sie den Realteil und den Imaginärteil der
> komplexen Zahl
> z = [mm]\bruch{i}{1-e^\bruch{i*\pi}{2}} [/mm].
> Bestimmen Sie den
> Betrag und das Argument der komplexen Zahl
> [mm]z = (1-i)^4 [/mm].
> Bestimmen Sie alle Lösungen z der
> Gleichung
> [mm]z \bar z + \bruch{z}{\bar z} = 3 [/mm].
> Hallo zusammen!
>
> Ich gerate ein bisschen ins Stocken bei den Komplexen
> Zahlen.
> Das Problem ist, dass ich nicht wirklich weiss, wie ich
> womit anfange.
> Was ich bisher versucht habe:
> Aufgabe 1: [mm]|z|= r = \wurzel{x^2} + {y^2}[/mm]
> Jetzt habe ich
> einfach bei |z *[mm] a^2 [/mm]|= 1 die Wurzel gezogen (darf man das
> überhaupt?) und erhalte |z|=r=1. Nun sehe ich nur noch
Wenn die Gleichung [mm] \vmat{z^{2}*a^{2}}=1[/mm] lautet,
dann bringt Dir das Wurzelziehen etwas.
> eine Formel, die mir weiter helfen könnte: [mm][mm]\bar[/mm] z [mm]= x-iy. Das könnte ich nun in Im(i [mm]\bar z [/mm]) = 1 einsetzen aber das bringt mich ja nicht wirklich weiter oder?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
Das bringt Dich schon ein Stück weiter.
> [mm][mm]Aufgabe 2: Ich habe nur die Formeln: Re(z) = x = r*cos(Phi) und Im(z) = y = r*sin(Phi). Ich würde jetzt nun Re(z)+Im(z) = -1 jeweils nach Re(z) und nach Im(z) auflösen. Aber: Mir fehlt das Argument, bzw. ich kann es nicht "vollständig" auflösen, so, dass ich [mm]\bruch {1}{z}[/mm] vom Argument loswerde. Ich finde hier keine passende Formel dazu.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
Bei der Bestimmung des Argumentes von [mm]\bruch{1}{z}[/mm] macht man den Nenner dieses komplexen Zahl zunächst reell.
> [mm][mm]Aufgabe 3: Ich habe hier eine Division gemacht aber schnell eingesehen, dass das mit der e-Funktion eine recht langwierige Angelegenheit ist, vorallem beim Ausmultiplizieren im Nenner. Ist dieser Weg richtig oder sollte ich hier anders ansetzen?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
Schreibe [mm]1-e^{i*\pi/4}[/mm] in der Form [mm]a+bi[/mm]
und mache dann denn Nenner von [mm]\bruch{i}{a+bi}[/mm] reell.
Erweitere diesen Bruch mit einem geeigneten Bruch [mm]\bruch{c}{c}, c \not= 0, \ c \in \IC[/mm]
> [mm][mm]Aufgabe 4: [mm]|z|= r = \wurzel{x^2} + {y^2}[/mm] Also setze ich 1 und i ein: [mm]|z|= r = \wurzel{1^2} + {-1^2}[/mm] = [mm]\wurzel{1} + {1}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Zudem ist Phi=arctan [mm](\bruch{y}{x})[/mm] und ich setze x und y ein: Phi=arctan [mm](\bruch{-1}{1})[/mm] , was dann [mm]\bruch{-\pi}{4} [/mm] gibt. Stimmt das?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
Für die Zahl [mm]1-i[/mm] stimmen Deine Berechnungen.
Nun kannst Du [mm]1-i=\wurzel{2}*e^{-i*\pi/4}[/mm] schreiben.
Damit ist dann [mm]z=\left(1-i\right)^{4}[/mm] zu berechnen.
> [mm][mm]Aufgabe 5: Die Formel [mm]z* \bar z = |z|^2 = x^2 + y^2[/mm] habe ich. Ich würde nun alle [mm]\bar z[/mm] ersetzen durch [mm]\bruch {z}{|z|^2}[/mm] aber da lande ich auch wieder schnell in einer Sackgasse.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn man mir da einen Ansatztipp geben könnte und evt. einen Trick, wie ich sehe, mit welcher Gleichung ich anfangen soll zu arbeiten.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Vielen Dank im Voraus. [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. [/mm][/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Di 11.08.2009 | | Autor: | Nemo |
Vielen Dank MathePower!
Ich war gestern Abend wohl schon mit dem einen Bein im Bett und habe die erste Frage falsch abgeschrieben. Es würde [mm] |z^2|=1 [/mm] heissen. Der Rest der Aufgabe bleibt gleich.
Nun habe ich mich an die erste Aufgabe rangemacht:
[mm] \bar z = |z|*cos(Phi) - i*(|z|*sin(Phi) [/mm]
wobei ich hier von der Formel [mm] |z| = x-iy [/mm] ausgegangen bin und für [mm] x=r*cos(Phi) = |z|*cos(Phi) und y=r*sin(Phi) = |z|*sin(Phi) [/mm] eingesetzt habe.
[mm] |z| = 1 [/mm], das eingesetzt in die Gleichungvon oben ergibt
[mm] \bar z = cos(Phi) - i*sin(Phi) [/mm]
Dann rechne ich mit der anderen gegebenen Formel in der Aufgabenstellung weiter und ersetze dort [mm] \bar [/mm] z mit der soeben berechneten Formel:
[mm] Im(i*cos(Phi) - i^2*sin(Phi)) = 1 [/mm]
Dann alles ausmultipliziert ergibt:
[mm] Im[sin(Phi] + i( [cos(Phi)] = 1 [/mm]
Somit sollte [mm] sin(Phi)=Re(i\bar z) und cos(Phi)=Im(i\bar z) [/mm] sein.
Alles setze ich sin(Phi) = 1 und cos(Phi)=1 und erhalte aber nun für Phi zwei verschiedene Winkel, was eigentlich nicht sein sollte oder?
Ich habe aber nun trotzdem weitergerechnet durch Einsetzen von [mm] Phi=\bruch{\pi}{2} und Phi=0 [/mm] in die Gleichungen [mm] x=r*cos(Phi) [/mm] und [mm] y=r*sin(Phi)[/mm] und erhalte so [mm] x=1 [/mm] und [mm] y=1 [/mm].
Die komplexe Zahl z wäre dann also [mm] z=1+i [/mm]
Dann noch zu Aufgabe 3:
Irgendwo habe ich noch die Formel [mm/] [mm] e^i*Phi [/mm] = [cos(Phi) + i * sin(Phi)] [/mm] gesehen und habe daraus abgeleitet, dass [mm] 1-e^\bruch{i*(Phi)}{2} [/mm] gleich sein müsste wie [mm] 1-[(cos(\bruch{\pi}{2}) + sin(\bruch{\pi}{2})] [/mm].
Dann wäre [mm] Re(z)=1-(cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] Im(z)=1-sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm].
Das mit den beiden verschiedenen Winkel bei der ersten Aufgabe erscheint mir ein bisschen komisch, wo liegt hier also der Fehler? Die dritte Aufgabe ist so korrekt? Ich wäre wirklich sehr froh um Korrekturen.
Die restlichen Aufgaben-Vorschlagslösungen sollten im Verlauf des Tages auch noch folgen.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Di 11.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Was Du da treibst ist mir rätselhaft (falls es sich wirklich um Aufgabe 1 handelt)
Sei $z = x+iy$ (x,y [mm] \in \IR)
[/mm]
$|z|=1$ bedeutet:
(1) [mm] $x^2+y^2=1$.
[/mm]
Es ist $i [mm] \overline{z}= [/mm] ix +y$, also folgt aus $Im(i [mm] \overline{z})= [/mm] 1$:
(2) $x=1$
Aus (1) folgt dann: $y=0$. Die gesuchte Zahl ist somit
$z=1$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Di 11.08.2009 | | Autor: | Nemo |
Vielen Dank Fred
Ja, es handelt sich dabei um Aufgabe 1. Wahrscheinlich ist es so verkompliziert, weil mir die Ahnung fehlt, wo(mit) man überhaupt bei solchen Aufgaben anfängt, zu rechnen.
Ich kann aber deinen zweiten Schritt nicht ganz nachvollziehen. Könntest du mir den erklären?
>
> Es ist [mm]i \overline{z}= ix +y[/mm], also folgt aus [mm]Im(i \overline{z})= 1[/mm]:
>
> (2) [mm]x=1[/mm]
>
Sorry, ich stehe momentan wirklich auf dem Schlauch.
Vielen Dank für deine Geduld.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Di 11.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank Fred
> Ja, es handelt sich dabei um Aufgabe 1. Wahrscheinlich ist
> es so verkompliziert, weil mir die Ahnung fehlt, wo(mit)
> man überhaupt bei solchen Aufgaben anfängt, zu rechnen.
> Ich kann aber deinen zweiten Schritt nicht ganz
> nachvollziehen. Könntest du mir den erklären?
> >
> > Es ist [mm]i \overline{z}= ix +y[/mm], also folgt aus [mm]Im(i \overline{z})= 1[/mm]:
Es ist [mm] $\overline{z}= [/mm] x-iy$, also $i [mm] \overline{z}= [/mm] ix- i^2y = ix+y$
Somit: $Im(i [mm] \overline{z}) [/mm] = x$
FRED
>
> >
> > (2) [mm]x=1[/mm]
> >
> Sorry, ich stehe momentan wirklich auf dem Schlauch.
> Vielen Dank für deine Geduld.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:14 Do 13.08.2009 | | Autor: | Nemo |
Ich danke euch beiden noch einmal. Inzwischen habe selber herausgefunden, er wie man alle Aufgaben lösen kann. Vollständigkeitshalb im Folgenden die Zwischenschritte:
1. Zuerst [mm]z^2[/mm] berechnen, was [mm] x^2+2xy-y^2[/mm] ergibt. Dann rechne ich [mm] i\bar z = i(x-yi) = ai+b [/mm]
Somit ergibt sich für [mm] Im[i \bar z] = x = 1 [/mm]
Dann berechne ich [mm] |z^2] [/mm], was schlussendlich zu [mm] x^2+y^2 = 1 [/mm] ergibt. x ist somit 1 u nd b ist 0. Deswegen ist z=1
2. Zuerst ist [mm] \bruch{1}{z} [/mm] zu berechnen, was [mm] \bruch{1}{r} * e^-Phi*i [/mm] ergibt. Dann geht es weiter mit arg( [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = - Phi [/mm] und somit ergibt [mm] Phi = \bruch{3\pi}{2} [/mm].
Man sieht, dass Re(z) = 0 sein muss. Das kann man einsetzen in Re(z) + Im(z) und erhält für Im(z)=-1. Somit ist z=-i
3. [mm] e^\bruch{i\pi}{2] [/mm]. Nun multipliziert man dan Nenner und den Zähler mit der kompl. konj. Term des Nenners und das Ganze reduziert sich auf [mm] \bruch{i-1}{2} [/mm]. Somit kommt man für Re(z) auf [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] Im(z)=^ [/mm].
4. Ich rechne zuerst die Zahl z aus, welche mit 4 "exponentiert" wird, z gibt. Dies ist der Fall bei 1-i = [mm] \wurzel{2} * e \bruch{3i\pi}{4} [/mm]. Das dann [mm] ^4 [/mm] ergibt [mm] 4e^i\pi [/mm]. So ist arg(z) = [mm] \pi [/mm] [/mm]
5. Da ist die Exponential-Form zu verwenden und so ersetzt man z und [mm] [mm] \bar [/mm] z [mm]. Zwischenergebnis: [mm] r^2+cos(2Phi)+isin(2Phi) = 3 [/mm]. Der imag. Teil von cos(2Phi) + isin(2Phi) muss also 0 ergeben. Da sin periodisch ist, ist dies bei Phi= [mm] \bruch{k\pi}{2} [/mm] der Fall. Nun kann man für k die Zahlen 0 bis ... einsetzen.
Das Thema ist für mich also abgeschlossen.:) Noch einmal danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Di 18.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich danke euch beiden noch einmal. Inzwischen habe selber
> herausgefunden, er wie man alle Aufgaben lösen kann.
So so ...
> Vollständigkeitshalb im Folgenden die Zwischenschritte:
> 1. Zuerst [mm]z^2[/mm] berechnen, was [mm]x^2+2xy-y^2[/mm] ergibt.
Das tut es nicht !
> Das Thema ist für mich also abgeschlossen.
Das sollte es aber nicht sein !
FRED
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