Komplex diff'bar/ Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | Bestimme alle [mm] $z\in\IC$, [/mm] in denen die Funktionen [mm] $f:\IC \rightarrow \IC$ [/mm]
(a) f(z) = [mm] sin($\bar{z}$)
[/mm]
(b) f(z) = [mm] $(Re\, z)$^3(Im\, z)^2 [/mm] + [mm] i(Re\,z)^2(Im\, z)^3$
[/mm]
komplex differenzierbar sind. In welchen Punkten sind sie holomorph? |
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich das richtig mache.
(a)
f(z) = [mm] sin($\bar{z}$) [/mm] = f(z) = sin(x-iy) = sin(x)cosh(y) - i cos(x)sinh(y)
u(x,y) = sin(x)cosh(y)
v(x,y) = -cos(x)sinh(y)
Cauchy-Riemann Differentialgleichungen sind nicht erfüllt:
[mm] $\partial_x [/mm] sin(x)cosh(y) = cos(x)cosh(y) [mm] \not= \partial_y [/mm] cos(x)sinh(y) = - cos(x)cosh(y) [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \not= [/mm] 1$
Analog ist die zweite nicht erfüllt. Das heisst, diese Funktion ist nirgends komplex differenzierbar, und somit ist sie auch nirgends auf [mm] $\IC$ [/mm] holomorph.
(b)
f(z) = [mm] $(Re\, z)$^3(Im\, z)^2 [/mm] + [mm] i(Re\,z)^2(Im\, z)^3 [/mm] = [mm] x^3y^2+ix^2y^3$
[/mm]
u(x,y) = [mm] $x^3y^2$
[/mm]
v(x,y) = [mm] $x^2y^3$
[/mm]
erste Cauchy-Riemann DGL erfüllt:
[mm] $\partial_x [/mm] u = [mm] 3x^2y^2 [/mm] = [mm] \partial_y [/mm] v = [mm] 3x^2y^2$
[/mm]
zweite CR-DGL:
[mm] $\partial_y [/mm] u = 2x^3y = - [mm] \partial_x [/mm] v = [mm] -2xy^3 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow x^2 [/mm] = [mm] -y^2 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow [/mm] x = i y $
Also ist diese Funktion für alle z von der Form z = 2iy komplex differenzierbar? aber wie sieht das das Gebiet aus, auf der die Funktion holomorph ist?
Danke für die Rückmeldung. Würde mich sehr freuen, da ich sonst niemanden fragen kann..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mat_
>
> Cauchy-Riemann Differentialgleichungen sind nicht
> erfüllt:
>
> [mm]\partial_x sin(x)cosh(y) = cos(x)cosh(y) \not= \partial_y cos(x)sinh(y) = - cos(x)cosh(y) \Rightarrow 1 \not= 1[/mm]
Doch! Etwa für [mm] $x=\pi/2$.
[/mm]
>
> Analog ist die zweite nicht erfüllt. Das heisst, diese
> Funktion ist nirgends komplex differenzierbar, und somit
> ist sie auch nirgends auf [mm]\IC[/mm] holomorph.
Die zweite ist sogar immer erfüllt.
> zweite CR-DGL:
>
> [mm]\partial_y u = 2x^3y = - \partial_x v = -2xy^3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^2 = -y^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow x = i y[/mm]
Falsch, da $x, y$ reelle Zahlen sind.
Was folgt dann aus [mm] $x^2=-y^2$?
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Mat_ |
Danke für die Antwort .
zu (a):
ich bekomme für die zweite CR-DGL nicht, dass sie immer erfüllt ist:
u(x,y) = sin(x)cosh(y)
v(x,y) = -cos(x)sinh(y)
[mm] $\partial_y [/mm] u = sin(x)sinh(y)$
[mm] $-\partial_x [/mm] v = [mm] (-)(-)\partial_x [/mm] cos(x)sinh(y) = - sin(x)sinh(y)$
somit ist diese nur für x = [mm] $\pi$ [/mm] oder y = 0 erfüllt
könntest du mir noch helfen, wie ich das mit der Holomorphie formulieren muss?
zu (b)
x = y = 0 und somit nur im Nullpunkt komplex diffbar und nirgends holomorph.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 05.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mat_!
> zu (a):
>
> ich bekomme für die zweite CR-DGL nicht, dass sie immer
> erfüllt ist:
>
> u(x,y) = sin(x)cosh(y)
> v(x,y) = -cos(x)sinh(y)
>
> [mm]\partial_y u = sin(x)sinh(y)[/mm]
> [mm]-\partial_x v = (-)(-)\partial_x cos(x)sinh(y) = - sin(x)sinh(y)[/mm]
>
> somit ist diese nur für x = [mm]\pi[/mm] oder y = 0 erfüllt
Korrekt.
Gibt es Punkte, an denen beide DGLen erfüllt sind?
> könntest du mir noch helfen, wie ich das mit der
> Holomorphie formulieren muss?
Du brauchst eine offene Umgebung eines Punktes, in der die Funktion komplex differenzierbar ist. Gibt es so etwas?
>
> zu (b)
>
> x = y = 0 und somit nur im Nullpunkt komplex diffbar und
> nirgends holomorph.
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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Im Punkt z wo x = [mm] ($\pi$/2)$\cdot$n $n\in \IN$ [/mm] und y = 0 gilt, sind beide DGLs erfüllt. Da ein Punkt keine offene Umgebung ist, ist die Funktion nur im vorhin angegebenen Punkt komplex diffbar, aber nirgends Holomorph?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Im Punkt z wo x = ([mm]\pi[/mm]/2)[mm]\cdot[/mm]n [mm]n\in \IN[/mm] und y = 0 gilt,
> sind beide DGLs erfüllt. Da ein Punkt keine offene Umgebung ist,
das kannst Du so nicht schreiben. (Zumal es sogar Topologien gibt, wo diese Aussage
falsch ist (jedenfalls wenn Du mit dem "Punkt [mm] $x_n$" [/mm] eigentlich die einpunktige Menge [mm] $\{x_n\}$ [/mm] meinst)
- aber hier ist klar, auf welche Du Dich beziehst).
Die Funktion ist sicher genau in diesen Punkten komplex differenzierbar (weil ich das
nicht nachgerechnet habe und es einfach nur Dir glaube, ist das hier auch nur eine
Mitteilung). Damit kannst Du sagen, dass es für jeden dieser Punkte, die Du übrigens
vielleicht besser als [mm] $x_n\,$ [/mm] bezeichnest, in jeder (noch so kleinen) offenen Umgebung auch
Nichtdifferenzierbarkeitspunkte gibt, und damit kann die Funktion nirgends holomorph
sein.
(Oder mach's so: Triff die Annahme, die Funktion sei an [mm] $x_0$ [/mm] holomorph. Dann gibt
es ein $ n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $x_0=\ldots\,,$ [/mm] denn die Funktion muss wenigstens in
[mm] $x_0$ [/mm] diff'bar sein. Nach Annahme ist die Funktion differenzierbar in einer Umgebung von
[mm] $x_0\,,$ [/mm] also gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] so, dass ... Damit kommst Du dann zum
Widerspruch!)
P.S.
Nur, damit Dir klar ist, warum Du das so oben nicht schreiben kannst: Die Funktion
[mm] $f(x)=x^2$ [/mm] als Funktion etwa [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist differenzierbar. Sie ist also differenzierbar
für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und damit auch in einer (sogar jeden) noch so kleinen Umgebung
eines [mm] $x_0 \in \IR\,.$ [/mm] Sie ist also auch differenzierbar in allen [mm] $x_n:=n \in \IN\,.$ [/mm] Die
"Logik":
"Da aber alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (logisch richtiger müßten wir eigentlich [mm] $\{n\}$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$)
[/mm]
schreiben) keine offenen Umgebungen sind, ist sie in keiner Umgebung eines [mm] $x_0$'s [/mm]
differenzierbar" macht aber keinen Sinn.
Mir ist oben schon klar, was Du meinst, und dass Du das anders meinst und dass das,
was Du meinst, nicht zu dem Beispiel [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] passt. Aber Deine Aussage suggeriert,
dass Du das so meinen würdest!
Grob gesagt ist das, was Du eigentlich sagen willst: Weil die Funktion nur an isolierten
Stellen differenzierbar ist, kann es keine Umgebung einer Differenzierbarkeitsstelle
so geben, dass die Funktion auf dieser komplett differenzierbar wären.
Du formulierst es aber komplett anders...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo SamuraiApocalypse,
> Im Punkt z wo x = ([mm]\pi[/mm]/2)[mm]\cdot[/mm]n [mm]n\in \IN[/mm] und y = 0 gilt,
> sind beide DGLs erfüllt. Da ein Punkt keine offene
> Umgebung ist, ist die Funktion nur im vorhin angegebenen
> Punkt komplex diffbar, aber nirgends Holomorph?
Wäre $f$ holomorph, so gäbe es eine nichtleere offene Menge $U$, auf der $f$ differenzierbar ist. Nun ist $U$ überabzählbar, dagegen ist die Menge der Punkte, in denen $f$ differenzierbar ist, abzählbar. Damit ist $f$ nicht holomorph.
Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Do 06.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mat_,
> ich bekomme für die zweite CR-DGL nicht, dass sie immer
> erfüllt ist:
Ich jetzt auch. Du hast völlig recht!
Gruß
Wolfgang
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