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| Aufgabe | | Für die Abbildung : z->w= [mm] z^2 [/mm] , z [mm] \varepsilon [/mm] C bestimmen und skizzieren sie das Bild der Geraden x= [mm] x_{0} \not= [/mm] 0 |
Hallo, habe ein problem mit dieser Aufgabe.
Bin bisher wie folgt vorgegangen:
[mm] z^2= [/mm] ( [mm] x_{0} [/mm] + [mm] iy)^2 [/mm] = [mm] x_{0}^{2} [/mm] +2iy -y= u+ iv
-> u= [mm] x_{0}^{2} [/mm] +y
-> v = 2y
Stimmt das so?
Wenn ja, muss ich dann weiter machen bzw. wie muss das Bild der Geraden aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 30.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Christoph
> Für die Abbildung : z->w= [mm]z^2[/mm] , z [mm]\varepsilon[/mm] C bestimmen
> und skizzieren sie das Bild der Geraden x= [mm]x_{0} \not=[/mm] 0
> Hallo, habe ein problem mit dieser Aufgabe.
> Bin bisher wie folgt vorgegangen:
> [mm]z^2=[/mm] ( [mm]x_{0}[/mm] + [mm]iy)^2[/mm] = [mm]x_{0}^{2}[/mm] +2iy -y= u+ iv
Vorsicht: es ist [mm] $(x_0 [/mm] + i [mm] y)^2 [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] + 2 i [mm] x_0 [/mm] y - [mm] y^2$.
[/mm]
> -> u= [mm]x_{0}^{2}[/mm] +y
> -> v = 2y
Also $u = [mm] x_0^2 [/mm] - [mm] y^2$ [/mm] und $v = 2 [mm] x_0 [/mm] y$.
> Stimmt das so?
> Wenn ja, muss ich dann weiter machen bzw. wie muss das
> Bild der Geraden aussehen?
Du musst die Punkte $(u, v)$ fuer $y [mm] \in \IR$ [/mm] einzeichnen.
Erstmal kannst du $y$ durch [mm] $\frac{t}{2 x_0}$ [/mm] ersetzen: dann bekommst du $v = t$ und $u = [mm] x_0^2 [/mm] - [mm] \frac{t^2}{4 x_0^2} [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] - [mm] \bigl( \frac{1}{4 x_0^2} \bigr) \cdot t^2$.
[/mm]
Wenn du also $v$ als $x$-Achse und $u$ als $y$-Achse auffasst, bekommst du die Parabel $y(x) = [mm] x_0^2 [/mm] - [mm] \bigl( \frac{1}{4 x_0^2} \bigr) \cdot x^2$, [/mm] wobei [mm] $x_0^2$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{4 x_0^2}$ [/mm] wie Konstanten aufgefasst werden koennen.
Jetzt ist allerdings $u$ die $y$-Achse und $v$ die $x$-Achse (da du die Punkte $(u, v)$ hast), womit du die Parabel ``umkippen'' musst.
LG Felix
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