Komplexe Darstellung sin(t) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Benbw |
| Aufgabe | | Zeige mit komplexer Darstellung das [mm] sin(t)=\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (e^{jt}-e^{-jt}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (1-cos(2t) ergibt. |
Hallo,
mein Ansatz zu der o.g. Aufgabe ist folgender:
[mm] sin(t)=\bruch{1}{2} *(e^{jt}-e^{-jt})
[/mm]
= [mm] sin(t)=\bruch{1}{2}*((cos(t)+j(sin(t)) [/mm] - cos(-t)+j*sin(-t))...
Wirklich weit bin ich noch nicht gekommen aber mir fehlen die Ideen wie ich dort weiterrechnen muss.
Vom Ergebnis her würde ich sagen das ein Summand mittels eine der Trigonometrischen Relationen durch einen anderen ersetzt werden muss aber ich habe dafür nichts passendes gefunden.
Vielleicht weis jemand Rat.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mo 15.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Es geht deutlich einfacher. Schreibe mal den Cosinus entsprechend, wie der Sinus dargestellt ist. Dann schreib 1-cos(2t) hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Benbw |
Hi, ich kann dir nicht ganz folgen. [mm] sin(t)=\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (e^{jt}-e^{-jt}) [/mm] ist ja so dargestellt.
Cosinus wäre dann ja [mm] \bruch{1}{2}* (e^{jt}+e^{-jt}). [/mm] Ich weis aber nicht genau wie mir das weiterhilft.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 15.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast ja auch den nächsten Schritt nicht gemacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Benbw |
Ich verstehe dein Vorgehen auch nicht ganz.
Ich soll in [mm] sin(t)=\bruch{1}{2}\cdot{}((cos(t)+j(sin(t))- [/mm] cos(-t)+j*sin(-t))
für sinus [mm] sin(t)=\bruch{1}{2} \cdot{}(e^{jt}-e^{-jt}) [/mm] und für Cosinus [mm] \bruch{1}{2}\cdot{} (e^{jt}+e^{-jt}) [/mm] einsetzen. Und wofür schreibe ich dann 1-cos(2t)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mo 15.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast $ [mm] \cos(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\cdot{} (e^{jt}+e^{-jt}) [/mm] $
Was ist dann $ [mm] \cos(2t) [/mm] $?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Benbw |
Das wäre dann [mm] (e^{jt}+e^{-jt}).
[/mm]
Ich schnalle es immernoch nicht worauf das hinausläuft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 15.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Das stimmt nicht. Du musst dort, wo t steht, 2t einsetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Benbw |
Wären es dann [mm] (e^{j2t}+e^{-j2t}) [/mm] oder 1/2 [mm] (e^{j2t}+e^{-j2t})? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mo 15.12.2014 | | Autor: | chrisno |
es gibt keinen Grund, das 1/2 zu beseitigen.
Allerdings stimmt die Aufgabe nicht. Da fehlt ein Quadrat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Benbw |
Wo fehlt ein Quadrat ?
Dann hätten wir für Cos(2t) = 1/2 [mm] (e^{j2t}+e^{-j2t})
[/mm]
Wie muss ich nun weitermachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mo 15.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Aufgabe
Zeige mit komplexer Darstellung das $ [mm] sin(t)=\bruch{1}{2} [/mm] $ * $ [mm] (e^{jt}-e^{-jt}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ (1-cos(2t) ergibt.
Das wird nicht gelingen. So ist die Aufgabe falsch gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Benbw |
Wie müsste sie denn richtig lauten ? Und wie würde ich die dann lösen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mo 15.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zeige, dass $\sin^2(t) = \br{1}{2}\left(1-\cos(2t)\right)$
Verwende dazu die Darstellung $\sin(t) = \br{1}{2i}\left(e^{it}-e^{-it}\rigtht)$
Lösungsweg: Darstellung für den Sinus einsetzen, Terme mit e hoch ... nach den Rechengesetzen umformen und neu zusammenfassen bis das Ergebnis da steht.
Für mich ist Schluss für heute, schade um die vertane Zeit durch die falsche Aufgabenstellung.
Nachtrag: Das fehlende i hat Fred inzwischen korrigiert, ich habe es auch eingefügt.
Das fiel mir auf, als ich vor dem Einschlafen festgestellt habe, wie leicht die Lösung ist: Darstellung für den Sinus einsetzen, das Quadrat mit der binomischen Formal ausrechnen, einmal Rechengesetze für Exponenten anwenden, fertig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:05 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeige mit komplexer Darstellung das [mm]sin(t)=\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm](e^{jt}-e^{-jt})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (1-cos(2t) ergibt.
Es ist [mm]sin(t)=\bruch{1}{2j}[/mm] * [mm](e^{jt}-e^{-jt})[/mm] !!!!
FRED
> Hallo,
>
> mein Ansatz zu der o.g. Aufgabe ist folgender:
>
> [mm]sin(t)=\bruch{1}{2} *(e^{jt}-e^{-jt})[/mm]
> =
> [mm]sin(t)=\bruch{1}{2}*((cos(t)+j(sin(t))[/mm] -
> cos(-t)+j*sin(-t))...
>
> Wirklich weit bin ich noch nicht gekommen aber mir fehlen
> die Ideen wie ich dort weiterrechnen muss.
> Vom Ergebnis her würde ich sagen das ein Summand mittels
> eine der Trigonometrischen Relationen durch einen anderen
> ersetzt werden muss aber ich habe dafür nichts passendes
> gefunden.
> Vielleicht weis jemand Rat.
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> Viele Grüße
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