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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Do 14.04.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich soll zeigen, wenn [mm] \varphi(a+bi) [/mm] = s(a,b) + i*t(x,y) [mm] \neq [/mm] c [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IC [/mm] komplex diff'bar ist, dann sind die Höhenlinien von s immer senkrecht auf t.
Das heißt ja, wenn ich eine Höhenlinie betrachte und diese jeweils als Vektor auffasse muss das Skalarprodukt verschwinden.
Ist der Ansatz machbar? Oder gibts es hier einen anderen, besseren Weg?
Vielleicht kann man hier auch etwas mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen machen, aber ich komme hier gar nicht auf einen vernünftigen Ansatz zum weiterdenken.
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 14.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich soll zeigen, wenn [mm]\varphi(a+bi)[/mm] = s(a,b) + i*t(x,y)
> [mm]\neq[/mm] c [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IC[/mm] komplex diff'bar ist, dann sind
> die Höhenlinien von s immer senkrecht auf t.
>
> Das heißt ja, wenn ich eine Höhenlinie betrachte und
> diese jeweils als Vektor auffasse muss das Skalarprodukt
> verschwinden.
Richtig.
> Ist der Ansatz machbar? Oder gibts es hier einen anderen,
> besseren Weg?
Bedenke, dass der Gradient einer Funktion immer senkrecht auf den Höhenlinien steht; das ist einfacher, als die Höhenlinien selbst zu betrachten.
> Vielleicht kann man hier auch etwas mit den
> Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen machen,
Genau!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 14.04.2011 | | Autor: | hilbert |
Gradienten kannte ich noch gar nicht.
Aber hab mal im Internet geschaut und da steht
Gradient einer Funktion f = gradf(x,y) = [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x} \\ \bruch{\partial f}{\partial y}}
[/mm]
Demnach kann ich für s und t die Gradienten ausrechnen.
grad s wäre [mm] \vektor{\bruch{\partial s}{\partial x} \\ \bruch{\partial s}{\partial y}}
[/mm]
grad t wäre [mm] \vektor{\bruch{\partial t}{\partial x} \\ \bruch{\partial t}{\partial y}}.
[/mm]
Ich weiß aber, da f komplex diff'bar ist, dass [mm] \bruch{\partial s}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial t}{\partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial s}{\partial y} [/mm] = [mm] -\bruch{\partial t}{\partial x}.
[/mm]
Jetzt bilde ich das Skalarprodukt von grad s und grad t:
[mm] \bruch{\partial s}{\partial x} [/mm] * [mm] \bruch{\partial t}{\partial x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial s}{\partial y} [/mm] * [mm] \bruch{\partial t}{\partial y}
[/mm]
[mm] =\bruch{\partial s}{\partial x} [/mm] * [mm] -\bruch{\partial s}{\partial y} [/mm] + [mm] \bruch{\partial s}{\partial y} [/mm] * [mm] \bruch{\partial s}{\partial x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\partial s}{\partial y} (-\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial s}{\partial x})
[/mm]
= [mm] \bruch{\partial s}{\partial y}*0 [/mm] = 0
Passt das?
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Hallo hilbert,
> Gradienten kannte ich noch gar nicht.
>
> Aber hab mal im Internet geschaut und da steht
>
> Gradient einer Funktion f = gradf(x,y) =
> [mm]\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x} \\ \bruch{\partial f}{\partial y}}[/mm]
>
> Demnach kann ich für s und t die Gradienten ausrechnen.
>
> grad s wäre [mm]\vektor{\bruch{\partial s}{\partial x} \\ \bruch{\partial s}{\partial y}}[/mm]
>
> grad t wäre [mm]\vektor{\bruch{\partial t}{\partial x} \\ \bruch{\partial t}{\partial y}}.[/mm]
>
> Ich weiß aber, da f komplex diff'bar ist, dass
> [mm]\bruch{\partial s}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{\partial t}{\partial y}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial s}{\partial y}[/mm] = [mm]-\bruch{\partial t}{\partial x}.[/mm]
>
> Jetzt bilde ich das Skalarprodukt von grad s und grad t:
>
> [mm]\bruch{\partial s}{\partial x}[/mm] * [mm]\bruch{\partial t}{\partial x}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial s}{\partial y}[/mm] * [mm]\bruch{\partial t}{\partial y}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\partial s}{\partial x}[/mm] * [mm]-\bruch{\partial s}{\partial y}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial s}{\partial y}[/mm] * [mm]\bruch{\partial s}{\partial x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\partial s}{\partial y} (-\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial s}{\partial x})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\partial s}{\partial y}*0[/mm] = 0
>
> Passt das?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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