Komplexe Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mi 07.03.2012 | | Autor: | MattiJo |
Hallo!
Ich habe folgende Systemmatrix vorliegen:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -10 & -6 }
[/mm]
Diese gehört zum System
[mm] \bruch{\partial \vec{x}}{\partial t} [/mm] = [mm] A\vec{x} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1}u
[/mm]
y = [mm] \pmat{1 & 0}\vec{x}
[/mm]
Mein Ziel ist es, die Transformationsmatrix zu bestimmen, die anschließend das System in die Jordansche Normalform transformiert. Anschließend suche ich dann noch die zugehörige Transitionsmatrix. Aber mal schön der Reihe nach.
Zunächst brauche ja ich die Eigenvektoren, aus denen meine Transformationsmatrix aufgebaut sein wird. Da liegt das Problem.
Die beiden Eigenwerte sind konjugiert komplex, ich habe sie berechnet zu
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = -3 [mm] \pm [/mm] j
Es müsste ja, wenn ich es richtig verstanden haben, nun reichen, einen Eigenvektor zu bestimmen, da ich den ja in Real- und Imaginärteil zerlegen kann und somit schon die zwei benötigten zur Verfügung habe.
Nehmen wir also willkürlich -3-j, dann ergibt sich die Eigenraummatrix zu
A - (-3-j)E = [mm] \pmat{ 3+j & 1 \\ -1 & -3+j }
[/mm]
Und jetzt komm ich nicht weiter. Bei reellen Matrizen konnte ich einfach die Vielfachen und Zusammenhänge erkennen, für die [mm] A-\lambda [/mm] E dann null wurde. Gibt es da bei komplexen Eigenwerten eine einfache Strategie?
Auch Gaußelimination hilft mir nicht weiter, ich erhalte nur den Nullvektor als Ergebnis...
Bin daher für jede Hilfe äußerst dankbar!!
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Hallo MattiJo,
> Hallo!
>
> Ich habe folgende Systemmatrix vorliegen:
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -10 & -6 }[/mm]
>
> Diese gehört zum System
> [mm]\bruch{\partial \vec{x}}{\partial t}[/mm] = [mm]A\vec{x}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 1}u[/mm]
>
> y = [mm]\pmat{1 & 0}\vec{x}[/mm]
>
> Mein Ziel ist es, die Transformationsmatrix zu bestimmen,
> die anschließend das System in die Jordansche Normalform
> transformiert. Anschließend suche ich dann noch die
> zugehörige Transitionsmatrix. Aber mal schön der Reihe
> nach.
>
> Zunächst brauche ja ich die Eigenvektoren, aus denen meine
> Transformationsmatrix aufgebaut sein wird. Da liegt das
> Problem.
> Die beiden Eigenwerte sind konjugiert komplex, ich habe
> sie berechnet zu
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = -3 [mm]\pm[/mm] j
>
> Es müsste ja, wenn ich es richtig verstanden haben, nun
> reichen, einen Eigenvektor zu bestimmen, da ich den ja in
> Real- und Imaginärteil zerlegen kann und somit schon die
> zwei benötigten zur Verfügung habe.
>
> Nehmen wir also willkürlich -3-j, dann ergibt sich die
> Eigenraummatrix zu
>
> A - (-3-j)E = [mm]\pmat{ 3+j & 1 \\ -1 & -3+j }[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\pmat{ 3+j & 1 \\ -1\blue{0} & -3+j }[/mm]
> Und jetzt komm ich nicht weiter. Bei reellen Matrizen
> konnte ich einfach die Vielfachen und Zusammenhänge
> erkennen, für die [mm]A-\lambda[/mm] E dann null wurde. Gibt es da
> bei komplexen Eigenwerten eine einfache Strategie?
>
> Auch Gaußelimination hilft mir nicht weiter, ich erhalte
> nur den Nullvektor als Ergebnis...
>
Das ist auch richtig, denn die Determinante
Deiner Eigenraummatrix ist von Null verschieden.
> Bin daher für jede Hilfe äußerst dankbar!!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mi 07.03.2012 | | Autor: | MattiJo |
>
> Hier muss doch stehen:
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> [mm]\pmat{ 3+j & 1 \\ -1\blue{0} & -3+j }[/mm]
>
>
Verdammt nochmal! Die 0 wurde verschluckt.
Warum müssen es immer die kleinen Dinge sein im Leben.... 
>
> > Und jetzt komm ich nicht weiter. Bei reellen Matrizen
> > konnte ich einfach die Vielfachen und Zusammenhänge
> > erkennen, für die [mm]A-\lambda[/mm] E dann null wurde. Gibt es da
> > bei komplexen Eigenwerten eine einfache Strategie?
> >
> > Auch Gaußelimination hilft mir nicht weiter, ich erhalte
> > nur den Nullvektor als Ergebnis...
> >
>
>
> Das ist auch richtig, denn die Determinante
> Deiner Eigenraummatrix ist von Null verschieden.
>
Kannst du mir den Zusammenhang noch genauer erklären, zum Verständnis? Wär super nett!
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Hallo MattiJo,
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]\pmat{ 3+j & 1 \\ -1\blue{0} & -3+j }[/mm]
> >
> >
>
> Verdammt nochmal! Die 0 wurde verschluckt.
> Warum müssen es immer die kleinen Dinge sein im Leben....
>
>
>
> >
> > > Und jetzt komm ich nicht weiter. Bei reellen Matrizen
> > > konnte ich einfach die Vielfachen und Zusammenhänge
> > > erkennen, für die [mm]A-\lambda[/mm] E dann null wurde. Gibt es da
> > > bei komplexen Eigenwerten eine einfache Strategie?
> > >
> > > Auch Gaußelimination hilft mir nicht weiter, ich erhalte
> > > nur den Nullvektor als Ergebnis...
> > >
> >
> >
> > Das ist auch richtig, denn die Determinante
> > Deiner Eigenraummatrix ist von Null verschieden.
> >
>
> Kannst du mir den Zusammenhang noch genauer erklären, zum
> Verständnis? Wär super nett!
Ist die Determinante einer Matrix A von Null verschieden,
so hat das Gleichungsssystem
[mm]A\vec{x}=\vec{0}[/mm]
nur die triviale Lösung [mm]\vec{0}[/mm].
Ist diese Determinante gleich Null, so hat das obige Gleichungssystem
auch nicht triviale Lösungen. Das sich alle Lösungen. aus einem
Vektor ableiten lassen, wird dieser Vektor hier Eigenvektor genannt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 07.03.2012 | | Autor: | MattiJo |
> > >
> > > Das ist auch richtig, denn die Determinante
> > > Deiner Eigenraummatrix ist von Null verschieden.
> > >
> >
> > Kannst du mir den Zusammenhang noch genauer erklären, zum
> > Verständnis? Wär super nett!
>
>
> Ist die Determinante einer Matrix A von Null verschieden,
> so hat das Gleichungsssystem
>
> [mm]A\vec{x}=\vec{0}[/mm]
>
> nur die triviale Lösung [mm]\vec{0}[/mm].
>
> Ist diese Determinante gleich Null, so hat das obige
> Gleichungssystem
> auch nicht triviale Lösungen. Das sich alle Lösungen.
> aus einem
> Vektor ableiten lassen, wird dieser Vektor hier
> Eigenvektor genannt.
>
>
Aber durch mein korrigiertes Missgeschick erhalte ich doch nun als Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ -3-j} [/mm] , weil die zweite Zeile von (A-(-3-j) E) immer das (-3-j)-fache der ersten Zeile ist...dann erhalte ich doch eine weitere Lösung für (A-(-3-j) [mm] E)\cdot \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] neben der Triviallösung, obwohl meine Determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist...das verwirrt mich jetzt!
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Hallo MattiJo,
> > > >
> > > > Das ist auch richtig, denn die Determinante
> > > > Deiner Eigenraummatrix ist von Null verschieden.
> > > >
> > >
> > > Kannst du mir den Zusammenhang noch genauer erklären, zum
> > > Verständnis? Wär super nett!
> >
> >
> > Ist die Determinante einer Matrix A von Null verschieden,
> > so hat das Gleichungsssystem
> >
> > [mm]A\vec{x}=\vec{0}[/mm]
> >
> > nur die triviale Lösung [mm]\vec{0}[/mm].
> >
> > Ist diese Determinante gleich Null, so hat das obige
> > Gleichungssystem
> > auch nicht triviale Lösungen. Das sich alle Lösungen.
> > aus einem
> > Vektor ableiten lassen, wird dieser Vektor hier
> > Eigenvektor genannt.
> >
> >
>
> Aber durch mein korrigiertes Missgeschick erhalte ich doch
> nun als Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ -3-j}[/mm] , weil die zweite
> Zeile von (A-(-3-j) E) immer das (-3-j)-fache der ersten
> Zeile ist...dann erhalte ich doch eine weitere Lösung für
> (A-(-3-j) [mm]E)\cdot \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] neben der
> Triviallösung, obwohl meine Determinante [mm]\not=[/mm] 0 ist...das
> verwirrt mich jetzt!
Die Determinante der Matrix [mm]A-(-3-j) E[/mm] ist Null.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mi 07.03.2012 | | Autor: | MattiJo |
Danke!
Jetzt hab ich ein neues Problem:
ich hab jetzt den komplexen Eigenvektor $ [mm] \vektor{1 \\ -3-j} [/mm] $ aufgespaltet in die beiden reellen Vektoren $ [mm] \vektor{1 \\ -3} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{0 \\ -j} [/mm] $ und meine Transformationsmatrix V gebildet:
V = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & -1 }
[/mm]
Mit Hilfe der Inversen
[mm] V^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 }
[/mm]
möchte ich nun A in die Jordansche Normalform transformieren. Ich erhalte aber dann
[mm] \tilde{A} [/mm] = [mm] V^{-1}AV [/mm] = [mm] \pmat{ -3 & -1 \\ 17 & 9 }
[/mm]
und so sieht doch keine JNF aus, oder? Ich vermisse die zur Diagonalen benachbarten Einsen usw....
Wie komme ich dann zu meiner Transitionsmatrix [mm] \tilde{\Phi}(t) [/mm] = [mm] e^{\tilde{A}t} [/mm] ?
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Hallo MattiJo,
> Danke!
>
> Jetzt hab ich ein neues Problem:
>
> ich hab jetzt den komplexen Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ -3-j}[/mm]
> aufgespaltet in die beiden reellen Vektoren [mm]\vektor{1 \\ -3}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ -j}[/mm] und meine Transformationsmatrix V
> gebildet:
>
> V = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & -1 }[/mm]
>
> Mit Hilfe der Inversen
>
> [mm]V^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 }[/mm]
>
Die Inverse von V muss doch gleich V sein.
> möchte ich nun A in die Jordansche Normalform
> transformieren. Ich erhalte aber dann
>
> [mm]\tilde{A}[/mm] = [mm] V^{-1}AV[/mm] = [mm]\pmat{ -3 & -1 \\ 17 & 9 }[/mm]
>
> und so sieht doch keine JNF aus, oder? Ich vermisse die zur
> Diagonalen benachbarten Einsen usw....
>
> Wie komme ich dann zu meiner Transitionsmatrix
> [mm]\tilde{\Phi}(t)[/mm] = [mm]e^{\tilde{A}t}[/mm] ?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 07.03.2012 | | Autor: | MattiJo |
> > Mit Hilfe der Inversen
> >
> > [mm]V^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 }[/mm]
> >
>
>
> Die Inverse von V muss doch gleich V sein.
>
Warum?
Ich habe die Inverse zu [mm] V=\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & -1 } [/mm] mit der Formel
[mm] V^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{adj(V)}{det(V)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det V} \pmat{ a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} }
[/mm]
= -1 [mm] \cdot \pmat{ -1 & 0 \\ 3 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & \underline{-1} }
[/mm]
berechnet...
okay du hast recht, hab einen Vorzeichenfehler gemacht...wo wir wieder bei den kleinen Dingen angekommen sind! Danke!
Aber warum muss hier die Inverse gleich der Matrix sein?? Wie hast du das "auf den ersten Blick" erkannt, ohne wie ich hier nachzurechnen?
>
> > möchte ich nun A in die Jordansche Normalform
> > transformieren. Ich erhalte aber dann
> >
> > [mm]\tilde{A}[/mm] = [mm] V^{-1}AV[/mm] = [mm]\pmat{ -3 & -1 \\ 17 & 9 }[/mm]
> >
> > und so sieht doch keine JNF aus, oder? Ich vermisse die zur
> > Diagonalen benachbarten Einsen usw....
> >
> > Wie komme ich dann zu meiner Transitionsmatrix
> > [mm]\tilde{\Phi}(t)[/mm] = [mm]e^{\tilde{A}t}[/mm] ?
>
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Hallo MattiJo,
> > > Mit Hilfe der Inversen
> > >
> > > [mm]V^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 }[/mm]
> > >
> >
> >
> > Die Inverse von V muss doch gleich V sein.
> >
>
> Warum?
>
> Ich habe die Inverse zu [mm]V=\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & -1 }[/mm] mit der
> Formel
>
> [mm]V^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{adj(V)}{det(V)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{det V} \pmat{ a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} }[/mm]
>
> = -1 [mm]\cdot \pmat{ -1 & 0 \\ 3 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & \underline{-1} }[/mm]
>
> berechnet...
> okay du hast recht, hab einen Vorzeichenfehler
> gemacht...wo wir wieder bei den kleinen Dingen angekommen
> sind! Danke!
>
> Aber warum muss hier die Inverse gleich der Matrix sein??
> Wie hast du das "auf den ersten Blick" erkannt, ohne wie
> ich hier nachzurechnen?
>
Nun, auf den Diagonalelementen der Inversen zu V stehen
die Inversen der Diagonalelemente von V,
weil V eine Dreiecksmatrix ist.
> >
> > > möchte ich nun A in die Jordansche Normalform
> > > transformieren. Ich erhalte aber dann
> > >
> > > [mm]\tilde{A}[/mm] = [mm] V^{-1}AV[/mm] = [mm]\pmat{ -3 & -1 \\ 17 & 9 }[/mm]
> >
> >
> > > und so sieht doch keine JNF aus, oder? Ich vermisse die zur
> > > Diagonalen benachbarten Einsen usw....
> > >
> > > Wie komme ich dann zu meiner Transitionsmatrix
> > > [mm]\tilde{\Phi}(t)[/mm] = [mm]e^{\tilde{A}t}[/mm] ?
> >
>
>
Gruss
MathePower
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