Komplexe Fktnen,S.v.Liouville < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:35 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | ZZ:
1a) Ist [mm] f(z)=\sum_{i=0}^{\infty}{c_i*z^i} [/mm] eine ganze Fkt mit [mm] |f(z)|\le [/mm] M und |z|=R,so gilt [mm] |c_k|\le M/R^K
[/mm]
b)Ist f(z) ein Polynom mit [mm] |f(z)|\le [/mm] 1 fuer |z| [mm] \le [/mm] 1,so sind die Koeffizienten f(z) betragsmäßig hoechstens 1
c)Ist f(z) ein Polynom vom Grad n mit [mm] |f(z)|\le [/mm] 1 fuer |z| [mm] \le [/mm] 1,so gilt |f(z)| [mm] \le |z|^n [/mm] fuer [mm] |z|\ge [/mm] 1 |
Hi
nach dem Satz von Liouville folgt ja, dass die Funktionen aus a,b,c konstant sind.
Bei a kann man ja [mm] |c_k|\le M/R^K [/mm] umstellen und kommt auf [mm] |c_k*z^k|\le [/mm] M...nun ist die der Betrag der Summe schon kleiner als M und es handelt sich um eine konstante Fkt. kann ich hier eine Folgerung fuer [mm] |c_k*z^k| [/mm] erlangen ?
bei b fehlt mir noch der hinweis ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo cutter!
> ZZ:
> 1a) Ist [mm]f(z)=\sum_{i=0}^{\infty}{c_i*z^i}[/mm] eine ganze Fkt
> mit [mm]|f(z)|\le[/mm] M und |z|=R,so gilt [mm]|c_k|\le M/R^K[/mm]
> b)Ist
> f(z) ein Polynom mit [mm]|f(z)|\le[/mm] 1 fuer |z| [mm]\le[/mm] 1,so sind die
> Koeffizienten f(z) betragsmäßig hoechstens 1
> c)Ist f(z) ein Polynom vom Grad n mit [mm]|f(z)|\le[/mm] 1 fuer |z|
> [mm]\le[/mm] 1,so gilt |f(z)| [mm]\le |z|^n[/mm] fuer [mm]|z|\ge[/mm] 1
>
> Hi
> nach dem Satz von Liouville folgt ja, dass die Funktionen
> aus a,b,c konstant sind.
Nein, den kannst du hier nicht anwenden, da die Beschraenkung nicht fuer alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt, sondern nur fuer bestimmte $z [mm] \in \IC$ [/mm] (naemlich welche die auf einem Kreisring liegen).
Wie du hier weiterkommst: Wende die Cauchysche Integralformel (evtl. zusammen mit der Taylorformel) an und schaetze das Integral per [mm] $|\int_a^b [/mm] f(x) dx| [mm] \le \int_a^b [/mm] |f(x)| dx [mm] \le [/mm] (b - a) [mm] \cdot \sup [/mm] |f(x)|$ ab.
Bei (b) kannst du einfach (a) anwenden, dann bist du sofort fertig.
Zu (c) hab ich gerade keine Idee...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi und danke fuer die Muehe.
Leider verstehe ich nicht, wie ich hier die Cauchy Integralformel anwenden soll...soll ich das integral ueber die Summe bilden oder was meinst du genau ?
Danke und gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi!
> Leider verstehe ich nicht, wie ich hier die Cauchy
> Integralformel anwenden soll...soll ich das integral ueber
> die Summe bilden oder was meinst du genau ?
Die Cauchysche Integralformel besagt doch: [mm] $\frac{k!}{2 \pi i} \int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \; [/mm] dz = [mm] f^{(k)}(0)$.
[/mm]
Und nach Taylor ist $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}}{k!} z^k$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
Wie gesagt,danke fuer die muehe...aber ich weiss nicht was ich machen muss....hab total ein brett vorm kopp...ich hab doch nur eine ganze Funktion gegeben und die soll ich nun in Cauchy Gleichung bekommen ..? Sorry!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
kannst du mir nochmal weiterhelfen ?...
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
> kannst du mir nochmal weiterhelfen ?...
> danke
Wo genau hapert's denn?
Nach Taylor ist [mm] $c_k [/mm] = [mm] \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$. [/mm] Da setzt du jetzt die Cauchysche Integralformel ein. Dann Wandelst du das Kurvenintegral in ein normales Integral um (so wie man das halt immer macht, indem du den Kreis parametrisierst mit [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] e^{i t} [/mm] R$, $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$) [/mm] und benutzt dann die Abschaetzung, die ich in meiner ersten Antwort geschrieben habe.
Wenn du damit Probleme hast, schreib bitte was du schon hast und wo genau du steckenbleibst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 15.05.2007 | | Autor: | cutter |
hi
ok
also 1. gedanke
[mm] \frac{k!}{2 \pi i} \int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \; [/mm] dz = [mm] f^{(k)}(0) [/mm] (*)
aus [mm] c_k [/mm] = [mm] \frac{f^{(k)}(0)}{k!} [/mm] folgt [mm] c_k*k!=f^{(k)}(0)
[/mm]
einsetzen in (*), wuerde mich aber nicht weiter bringen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok
> also 1. gedanke
>
> [mm]\frac{k!}{2 \pi i} \int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \;[/mm]
> dz = [mm]f^{(k)}(0)[/mm] (*)
>
> aus [mm]c_k[/mm] = [mm]\frac{f^{(k)}(0)}{k!}[/mm] folgt [mm]c_k*k!=f^{(k)}(0)[/mm]
>
> einsetzen in (*),
Genau.
> wuerde mich aber nicht weiter bringen.
Warum schreibst du nicht mal das Kurvenintegral um in ein normales Integral und verwendest du die Abschaetzung aus meiner ersten Antwort? Mach das doch mal und schreib das was du raus hast hier hin.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 15.05.2007 | | Autor: | cutter |
Auf ein neues
[mm] c_k=\frac{1}{n!}*f^k(0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \; [/mm] dz
Def: [mm] d(t):=e^{it} t\in [0,2\pi]
[/mm]
dann folgt:
[mm] \int_{d}~f(z)dz [/mm] = [mm] \int_{0}^{2\pi}~f(d(t)*d'(t)dt
[/mm]
soweit ist mir das auch klar und ich dann nehme ich den betrag von [mm] |c_k| [/mm] und schaetze ab.
aber ich weiss nicht wie ich [mm] \int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \; [/mm] dz in ein normales bekomme.......hat ja nicht die form [mm] \int_{d}~f(z)dz
[/mm]
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo cutter!
> [mm]c_k=\frac{1}{n!}*f^k(0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \;[/mm]
> dz
>
> Def: [mm]d(t):=e^{it} t\in [0,2\pi][/mm]
Du meinst $d(t) = [mm] e^{i t} [/mm] R$, $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$, [/mm] oder?
> dann folgt:
> [mm]\int_{d}~f(z)dz[/mm] = [mm]\int_{0}^{2\pi}~f(d(t)*d'(t)dt[/mm]
Genau. Also mit einer weiteren Klammer zu vor dem $d'(t)$.
> soweit ist mir das auch klar und ich dann nehme ich den
> betrag von [mm]|c_k|[/mm] und schaetze ab.
> aber ich weiss nicht wie ich [mm]\int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \;[/mm]
> dz in ein normales bekomme.......hat ja nicht die form
> [mm]\int_{d}~f(z)dz[/mm]
Also [mm] $\int_{|z| = R} [/mm] f(z) dz$ ist per Definition gerade [mm] $\int_d [/mm] f(z) dz$. Das ist einfach nur eine Kurzschreibweise dafuer, weil man nicht jedesmal die Funktion $d$ explizit hinschreiben will.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 15.05.2007 | | Autor: | cutter |
aber ich habe doch [mm] \frac{f(z)}{z^{k+1}} [/mm] stehen...was mach ich mt dem nenner?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi.
> aber ich habe doch [mm]\frac{f(z)}{z^{k+1}}[/mm] stehen...was mach
> ich mt dem nenner?
Definiere $g(z) := [mm] \frac{f(z)}{z^{k+1}}$ [/mm] und schreib [mm] $\int_{|z|=R} [/mm] g(z) [mm] \; [/mm] dz = [mm] \int_d [/mm] g(z) [mm] \; [/mm] dz$ zu nem normalen Integral um. Und dann wende die Integralabschaetzung an.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 16.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi habs nun endlich hinbekommen.=)Danke
Jetzt nur noch eine kurze Frage.
Du sagst die b) geht direkt aus der a) hervor.
Nur frag ich mich gerade
warum [mm] \frac{M}{R^k} [/mm] immer kleiner als 1 ist. R ist doch der Betrag von z und z ist betragsmäßig kleiner als 1. Kann dann nicht [mm] \frac{M}{R^k} [/mm] größer als eins werden und damit kann ich keine abschaetzung fuer die vorfaktoren machen ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo cutter,
> Hi habs nun endlich hinbekommen.=)Danke
> Jetzt nur noch eine kurze Frage.
> Du sagst die b) geht direkt aus der a) hervor.
> Nur frag ich mich gerade
>
> warum [mm]\frac{M}{R^k}[/mm] immer kleiner als 1 ist. R ist doch der
> Betrag von z und z ist betragsmäßig kleiner als 1. Kann
> dann nicht [mm]\frac{M}{R^k}[/mm] größer als eins werden und damit
> kann ich keine abschaetzung fuer die vorfaktoren machen ?
waehle doch einfach $R = 1$; nach Voraussetzung ist $M = 1$, und du hast [mm] $|c_i| \le \frac{M}{R^i} [/mm] = 1$.
Nur weil $|f(z)| [mm] \le [/mm] 1$ fuer alle $|z| [mm] \le [/mm] 1$ gilt musst du das ja nicht fuer alle $R [mm] \le [/mm] 1$ anwenden, du kannst dir irgendein $R [mm] \in [/mm] ]0, 1]$ aussuchen. Und $R = 1$ liefert halt genau die gewuenschte Aussage.
LG Felix
|
|
|
|
