Komplexe Fourier-Reihe < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Sa 27.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es soll im folgenden eine Fourier-Reihe gebildet werden.
Ich bin allerdings nicht sicher, ob ich hier im richtigen Forum/Unterforum gelandet bin???
Entwickeln Sie die komplexe Fourierreihe der Funktion
f(x) = x [mm] (-\pi \le [/mm] x < [mm] \pi) [/mm] |
Moin Moin,
ich habe hier (weiter unten) eine Frage zum Einheitskreis...
Also zunächst ist eine komplexe Fourierreihe definiert als
F f(x) = [mm] \summe_{n=-\infty}^{+\infty} c_n*e^{inx}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}
[/mm]
Hier hätte ich schon mal ne Frage: Was bedeutet F f(x) ???
1. [mm] c_n [/mm] bestimmen
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}
[/mm]
Wegen der Unstetigkeitsstelle bei [mm] \pi [/mm] muss das Integral aufgeteilt werden...
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{\pi}{x*e^{-inx} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{\pi}^{2\pi}{(x-2\pi) *e^{-inx} dx}
[/mm]
f(x) = x ist die Gerade durch (0/0), die bis [mm] (\pi/\pi) [/mm] geht
g(x) = x - [mm] 2\pi [/mm] ist die Gerade, die bei [mm] (\pi/-\pi) [/mm] anfängt über [mm] (2\pi/0) [/mm] bis [mm] (3\pi/\pi) [/mm] geht... usw.
Aber wir betrachten ja nur das Intervall [mm] [0;2\pi].
[/mm]
Ich hoffe, das ist soweit richtig?!
Wir fassen zusammen
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{xe^{-inx} dx} +\bruch{1}{2\pi}*\integral_{\pi}^{2\pi}{-2\pi*e^{-inx} dx}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{x*e^{-inx} dx} [/mm] - [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{e^{-inx} dx}
[/mm]
Nun wird der erste Summand mit partieller Integration gebildet...
u = x v' = [mm] e^{-inx}
[/mm]
u' = 1 v = [mm] -\bruch{1}{in}*e^{-inx}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[x*(-\bruch{1}{in}*e^{-inx})] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{1*(-\bruch{1}{in}*e^{-inx}) dx} [/mm] - [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{e^{-i*n*x} dx}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[x*(-\bruch{1}{in}*e^{-inx})] \vmat{ 0 \\ 2\pi } [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*[(+\bruch{1}{(in)^2}*e^{-inx}] \vmat{ 0 \\ 2\pi } [/mm] - [mm] [-\bruch{1}{in}*e^{-i*n*x}] \vmat{ \pi \\ 2\pi }
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{in}*e^{-in*2\pi} [/mm] - 0) [mm] -(\bruch{1}{2\pi}*\bruch{1}{(in)^2}*e^{-in*2\pi} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*\bruch{1}{(in)^2}*e^{-in*0}) [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{in}*e^{-in*2\pi} [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{in}*e^{-in*\pi})) [/mm]
Jetzt wird gesagt, dass [mm] e^{-i*n*2\pi} [/mm] = 1
und [mm] e^{-i*n*\pi} [/mm] = -1 sei. Und dies wird mit dem Einheitskreis begründet.
Aber wie hängt die e-Funktion bzw. diese e-Funktion mit dem Einheitskreis zusammen???
sin(x) ok; cos(x) ok; tan(x) ok... aber [mm] e^x [/mm] ???
Kann mir das mal jemand erklären???
Danke & Gruß!
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Hiho,
> Also zunächst ist eine komplexe Fourierreihe definiert als
>
> F f(x) = [mm]\summe_{n=-\infty}^{+\infty} c_n*e^{inx}[/mm]
>
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}[/mm]
Das ist interessant, woher hast du das?
Ich kenn das bisher nur als
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}[/mm]
was auch dein späteres "Problem" mit dem Shift lösen würde… deine Funktion ist nämlich gerade im Bereich [mm] $-\pi \le [/mm] x [mm] \le \pi$ [/mm] definiert und muss dann gar nicht verschoben werden… ich schreibe "Problem" weil es eigentlich gar keins ist… dann kommt nämlich faktisch dasselbe raus.
> Hier hätte ich schon mal ne Frage: Was bedeutet F f(x)
F ist der Fourieroperator, die Klammern werden gern mal weggelassen, d.h. du erhälst die Fouriertransformierte von f durch Anwendung von F auf f, also faktisch $F(f)$
> Jetzt wird gesagt, dass [mm]e^{-i*n*2\pi}[/mm] = 1
>
> und [mm]e^{-i*n*\pi}[/mm] = -1 sei. Und dies wird mit dem
> Einheitskreis begründet.
>
> Aber wie hängt die e-Funktion bzw. diese e-Funktion mit
> dem Einheitskreis zusammen???
>
> sin(x) ok; cos(x) ok; tan(x) ok... aber [mm]e^x[/mm] ???
>
> Kann mir das mal jemand erklären???
Nicht [mm] $e^x$ [/mm] sondern [mm] $e^{ix}$.
[/mm]
Komplexe Zahlen können einerseits geschrieben werden als $z = x + iy$ aber auch als [mm] $z=re^{i\varphi}$ [/mm] wobei dann [mm] $r=\sqrt{x^2 + y^2}=|z|$ [/mm] der Betrag der Komplexen Zahl ist.
Man erkennt sofort, dass dann für alle Zahlen der Form [mm] $z=1*e^{i\varphi}$ [/mm] der Betrag der Zahl gleich 1 ist.
D.h. die Abbildung [mm] $\varphi \mapsto e^{i\varphi}$ [/mm] bildet also auf den Einheitskreis in den Komplexen Zahlen ab, insbesondere gilt also für jedes [mm] $\varphi \in \IR$ [/mm] dann $|z| = [mm] \left|e^{i\varphi}\right| [/mm] = 1$ und [mm] $\varphi$ [/mm] beschreibt den Winkel zwischen der reellen Achse und der komplexen Zahl.
Weiterhin gilt (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier) dann die eulersche Formel: [mm] ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\varphi}=\cos \left(\varphi\right)+\mathrm {i} \,\sin \left(\varphi\right)}$. [/mm] In dem Artikel siehst du auch eine Grafik, die das oben mit dem Winkel nochmal schön erklärt. Durch obige Identität, aber auch am Bild erkennt man dann eben sofort, dass gilt:
$1 = 1 + 0i = [mm] e^{i\cdot 0}$ [/mm] sowie $-1 = -1 + 0i = [mm] e^{-i\pi}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 28.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
zunächst zu deiner Frage...
>
> Das ist interessant, woher hast du das?
> Ich kenn das bisher nur als
>
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}[/mm]
>
> was auch dein späteres "Problem" mit dem Shift lösen
> würde… deine Funktion ist nämlich gerade im Bereich
> [mm]-\pi \le x \le \pi[/mm] definiert und muss dann gar nicht
> verschoben werden… ich schreibe "Problem" weil es
> eigentlich gar keins ist… dann kommt nämlich faktisch
> dasselbe raus.
Äh, das habe ich aus einem youtube-Video:
https://www.youtube.com/watch?v=9JlfTbckvCg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 28.10.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Äh, das habe ich aus einem youtube-Video:
>
> https://www.youtube.com/watch?v=9JlfTbckvCg
gut, dass du das gezeigt hast… du hast nämlich ein Verständnisproblem!
Dort wird nämlich nicht die Fouriertransformierte von deinem gegebenem f gebildet.
Gegeben ist die [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktion $f$, welche eingeschränkt auf das Intervall [mm] $[-\pi,\pi)$ [/mm] die Gestalt $f(x)=x$ hat, also in Formeln:
[mm] $f(x)\big|_{[-\pi,\pi)} [/mm] = x$ hat.
Und nun sollst du die Fouriertransformierte auf dem Intervall [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] bilden.
Dazu überlegst du dir, das f eingeschränkt auf [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] die Gestalt hat
[mm] $f(x)\big|_{[0,2\pi)} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & 0 \le x < \pi \\ x-2\pi, & \pi \le x < 2\pi \end{cases}$
[/mm]
Das erklärt auch, warum nachher die Integrale so aussehen, wie sie aussehen.
Nix mit Transformationen o.Ä.
Bei deiner Aufgabenstellung mit der Funktion
> f(x) = x $ [mm] (-\pi \le [/mm] $ x < $ [mm] \pi) [/mm] $
könnte man denken, es wäre $f(x) = [mm] x1_{[-\pi,\pi)}$ [/mm] und damit wäre f nämlich Null für $x [mm] \ge \pi$.
[/mm]
Wenn es dir natürlich klar ist, dass du ausschließlich [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktionen betrachtest, solltest du das trotzdem hinschreiben.
Das macht man korrekterweise zu Beginn auch so, kann man später aber verallgemeinern 
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 So 28.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 28.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
1. Ich berechne als erstes [mm] c_0 [/mm]
[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-in*0} dx} [/mm]
[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*1 dx} [/mm]
[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{2}*x^2] [/mm] von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi
[/mm]
[mm] c_0 [/mm] = 0
2. Ich berechne die [mm] c_n [/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx} [/mm]
Ich wähle für die partielle Integration
u = x v' = [mm] e^{-inx}
[/mm]
u' = 1 v = [mm] -\bruch{1}{in}*e^{-inx}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}] [/mm] - [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx}) [/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}] [/mm] - [mm] [(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]) [/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n})) [/mm] - [mm] [\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}]
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n -(-\bruch{-\pi}{in}*(-1)^n)) [/mm] - [mm] [\bruch{1}{-1*n^2}*e^{-inx}]
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n -(\bruch{\pi}{in}*(-1)^n)) [/mm] + [mm] [\bruch{1}{n^2}*e^{-inx}]
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(\bruch{-2*\pi}{in}*(-1)^n) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n^2}*e^{(-i*\pi)^n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*e^{-i*(-\pi))^n})
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = (- [mm] \bruch{2}{in}*(-1)^n) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*(-1)^n) [/mm]
[mm] c_n [/mm] = (- [mm] \bruch{2}{in}*(-1)^n) [/mm] + 0
Ist das richtig?
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Hiho,
entschuldige die späte Antwort, aber ich war etwas dahingerafft von kleinen, widerspenstigen Lebewesen…
> 1. Ich berechne als erstes [mm]c_0[/mm]
> […]
> [mm]c_0[/mm] = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]
>
>
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]
>
>
> Ich wähle für die partielle Integration
>
> u = x v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
>
> u' = 1 v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
Hier hast du im ersten Ausdruck die Grenzen vergessen…
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}])[/mm]
Hier schreibst du auch wieder keine Grenzen hin.
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Und hier wird aus dem $i\pi n$ im Exponent plötzlich ein $i\pi^n$… wieso?
Dein Ansatz ist aber ok… allerdings ist mir aufgefallen, dass meine Aussage zu Beginn falsch war, dass der Integrationsbereich keine Rolle spielt… zumindest für die Lösung.
Du müsstest jetzt bei $e^{-in\pi}$ nämlich zwischen geraden und ungeraden n unterscheiden.
Diese Unterscheidung fällt praktischerweise beim Integrationsbereich von 0 bis $2\pi$ weg, weil der Faktor 2 da immer drin vorkommt.
D.h. bezugnehmend auf meinen Kommentar solltest du korrekterweise $ c_n = \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{x\cdot{}e^{-inx dx} $ berechnen… das war ja auch die Aufgabenstellung.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 31.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin Gono,
> Hiho,
>
> entschuldige die späte Antwort, aber ich war etwas
> dahingerafft von kleinen, widerspenstigen Lebewesen…
Ich hoffe, du hast mit deinen Mäusen mittlerweile Einvernehmen erzielt! 
> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
> Hier hast du im ersten Ausdruck die Grenzen vergessen…
Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann (Formatierungsproblem) ... [mm] [-\pi;\pi] [/mm] ist jeweils gemeint...
> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}])[/mm]
> Hier schreibst du auch wieder keine Grenzen hin.
Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann (Formatierungsproblem) ... [mm] [-\pi;\pi] [/mm] ist jeweils gemeint...
> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> > - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]
> Und hier wird aus dem [mm]i\pi n[/mm] im Exponent plötzlich ein
> [mm]i\pi^n[/mm]… wieso?
Ich habe [mm] e^{-i*\pi*n} [/mm] umgeformt zu [mm] e^{(-i*\pi)^n} [/mm] ...weil [mm] e^{-i*\pi} [/mm] = -1 bzw. [mm] e^{i*\pi} [/mm] = -1 ist, oder nicht?
>
> Dein Ansatz ist aber ok… allerdings ist mir aufgefallen,
> dass meine Aussage zu Beginn falsch war, dass der
> Integrationsbereich keine Rolle spielt… zumindest für
> die Lösung.
> Du müsstest jetzt bei [mm]e^{-in\pi}[/mm] nämlich zwischen geraden
> und ungeraden n unterscheiden.
Also hier müsste ich nochmal weitermachen... richtig?
> Diese Unterscheidung fällt praktischerweise beim
> Integrationsbereich von 0 bis [mm]2\pi[/mm] weg, weil der Faktor 2
> da immer drin vorkommt.
>
> D.h. bezugnehmend auf meinen Kommentar solltest du
> korrekterweise [mm]c_n = \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{x\cdot{}e^{-inx dx}[/mm]
> berechnen… das war ja auch die Aufgabenstellung.
>
> Gruß,
> Gono
Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall [mm] [-\pi;\pi] [/mm] .
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 31.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Moin Moin Gono,
>
> > Hiho,
> >
> > entschuldige die späte Antwort, aber ich war etwas
> > dahingerafft von kleinen, widerspenstigen Lebewesen…
>
> Ich hoffe, du hast mit deinen Mäusen mittlerweile
> Einvernehmen erzielt!
>
>
> > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > > [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
> > Hier hast du im ersten Ausdruck die Grenzen vergessen…
>
> Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann
> (Formatierungsproblem) ... [mm][-\pi;\pi][/mm] ist jeweils
[mm] $F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b$
[/mm]
meinst Du das ?
> gemeint...
>
> > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > > [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}])[/mm]
> > Hier schreibst du auch wieder keine Grenzen hin.
>
> Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann
> (Formatierungsproblem) ... [mm][-\pi;\pi][/mm] ist jeweils
> gemeint...
s.o.
>
>
> > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> > > - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]
> > Und hier wird aus dem [mm]i\pi n[/mm] im Exponent plötzlich ein
> > [mm]i\pi^n[/mm]… wieso?
>
> Ich habe [mm]e^{-i*\pi*n}[/mm] umgeformt zu [mm]e^{(-i*\pi)^n}[/mm] ...weil
> [mm]e^{-i*\pi}[/mm] = -1 bzw. [mm]e^{i*\pi}[/mm] = -1 ist, oder nicht?
Upps ! Es ist [mm] e^{z^n} \ne (e^z)^n [/mm] (= [mm] e^{zn}
[/mm]
Zum Beispiel ist [mm] e^{(-i*\pi)^2}=e^{- \pi^2}.
[/mm]
>
> >
> > Dein Ansatz ist aber ok… allerdings ist mir aufgefallen,
> > dass meine Aussage zu Beginn falsch war, dass der
> > Integrationsbereich keine Rolle spielt… zumindest für
> > die Lösung.
> > Du müsstest jetzt bei [mm]e^{-in\pi}[/mm] nämlich zwischen geraden
> > und ungeraden n unterscheiden.
>
> Also hier müsste ich nochmal weitermachen... richtig?
Ja
>
> > Diese Unterscheidung fällt praktischerweise beim
> > Integrationsbereich von 0 bis [mm]2\pi[/mm] weg, weil der Faktor 2
> > da immer drin vorkommt.
> >
> > D.h. bezugnehmend auf meinen Kommentar solltest du
> > korrekterweise [mm]c_n = \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{x\cdot{}e^{-inx dx}[/mm]
> > berechnen… das war ja auch die Aufgabenstellung.
> >
> > Gruß,
> > Gono
>
> Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall
> [mm][-\pi;\pi][/mm] .
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Do 01.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
> >
> > Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann
> > (Formatierungsproblem) ... [mm][-\pi;\pi][/mm] ist jeweils
> > gemeint...
>
> [mm]F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b[/mm]
>
> meinst Du das ?
> >
Ja, genau [mm] ]_a^b
[/mm]
> > > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> > > > - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]
> > > Und hier wird aus dem [mm]i\pi n[/mm] im Exponent plötzlich
> ein
> > > [mm]i\pi^n[/mm]… wieso?
> >
> > Ich habe [mm]e^{-i*\pi*n}[/mm] umgeformt zu [mm]e^{(-i*\pi)^n}[/mm] ...weil
> > [mm]e^{-i*\pi}[/mm] = -1 bzw. [mm]e^{i*\pi}[/mm] = -1 ist, oder nicht?
>
> Upps ! Es ist [mm]e^{z^n} \ne (e^z)^n[/mm] (= [mm]e^{zn}[/mm]
>
> Zum Beispiel ist [mm]e^{(-i*\pi)^2}=e^{- \pi^2}.[/mm]
>
Ok, wie geht das aber dann mit dem Einheitskreis?
Bisher habe ich gelernt [mm] e^{-i*\pi} [/mm] = -1.
Was ist aber dann [mm] e^{-i*\pi*n} [/mm] ?
In meinen Unterlagen finde ich [mm] (-1)^n, [/mm] aber wie komme ich dahin???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 01.11.2018 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hase,
gemäß  Potenzgesetz [mm] $a^{m*n} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ a^m \right)^n$ [/mm] gilt:
[mm] $e^{-i*\pi*n} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{-i*\pi} \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Fr 02.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo Hase,
>
> gemäß Potenzgesetz [mm]a^{m*n} \ = \ \left( \ a^m \right)^n[/mm]
> gilt:
>
> [mm]e^{-i*\pi*n} \ = \ \left( \ e^{-i*\pi} \ \right)^n \ = \ (-1)^n[/mm]
>
>
> Nun klar(er)?
>
>
> Gruß
> Loddar
Ja, vielen Dank! Kurz und knackig!
Also war mein Fehler, dass ich weiter oben die Klammern um die Basis nicht gesetzt habe...
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Hiho,
nur der Vollständigkeit halber:
> Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall [mm][-\pi;\pi][/mm] .
also in dem Video, was du gepostet hast, nicht. Da ging es um das Intervall [mm] $[0,2\pi]$
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Do 01.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
> Hiho,
>
> nur der Vollständigkeit halber:
>
> > Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall
> [mm][-\pi;\pi][/mm] .
> also in dem Video, was du gepostet hast, nicht. Da ging es
> um das Intervall [mm][0,2\pi][/mm]
>
> Gruß,
> Gono
Ja, im Video schon, aber was Besseres habe ich nicht gefunden.
Die Aufgabenstellung betrachtet das Intervall [- [mm] \pi;\pi] [/mm] .
Amen.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:00 So 04.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
ich fasse nochmal zusammen...
2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]
Ich wähle für die partielle Integration
u = x v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
u' = 1 v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi [/mm] - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi}[/mm] - [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi)[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( (-\bruch{1}{in}*\pi*(e^{-i*\pi})^n}) -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(e^{-i*(-\pi)})^n})[/mm] - [mm] [\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi [/mm] )
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n (-\bruch{-\pi}{in}*(-1)^n))[/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{-1*n^2}*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n -(\bruch{\pi}{in}*(-1)^n)) +\bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{n^2}*(e^{-i*\pi})^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*(e^{-i*(-\pi)})^n [/mm] )
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2\pi}{in}*(-1)^n [/mm] ) [mm] +\bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*(-1)^n [/mm] )
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2\pi}{in}*(-1)^n [/mm] + 0
[mm] c_n [/mm] = - [mm] \bruch{1}{in}*(-1)^n [/mm]
richtig?
Wie kann ich jetzt die Unterscheidung zwischen ungeraden n und geraden n machen?
keine Idee!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 06.11.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:12 Fr 02.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
ich möchte die Lösung noch etwas vervollständigen...
> > 2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]
> >
> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]
> >
> > Ich wähle für die partielle Integration
> >
> > u = x v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
> >
> > u' = 1 v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]
>
>
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi} [/mm] - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi}[/mm] - [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi})[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(e^{-i*\pi})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*\pi})^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(-1)^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n)[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(\bruch{1}{in}*(\pi)*(-1)^n)[/mm] - 0
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2}{in}*\pi*(-1})^n) [/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]-\bruch{1}{in}*(-1})^n [/mm]
Ist das soweit korrekt?
Muss ich jetzt zwischen geraden und ungeraden n unterscheiden, und wie würde dann meine Lösung aussehen?
Hmm... ginge das so:
n = 2k
n = 2k+1
[mm] c_{2k}= -\bruch{1}{i*2k}*(-1)^{2k} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2ik}
[/mm]
[mm] c_{2k+1}= -\bruch{1}{i*(2k+1)}*(-1)^{2k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i*(2k+1)}
[/mm]
???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 04.11.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:04 Mi 07.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
ich möchte die Lösung noch etwas vervollständigen...
> > 2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]
> >
> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]
> >
> > Ich wähle für die partielle Integration
> >
> > u = x v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
> >
> > u' = 1 v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]
>
>
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi} [/mm] - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi}[/mm] - [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi})[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(e^{-i*\pi})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*\pi})^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(-1)^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n)[/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(\bruch{1}{in}*(\pi)*(-1)^n)[/mm] - 0
[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2}{in}*\pi*(-1})^n) [/mm]
[mm]c_n[/mm] = [mm]-\bruch{1}{in}*(-1})^n [/mm]
Ist das soweit korrekt?
Muss ich jetzt zwischen geraden und ungeraden n unterscheiden, und wie würde dann meine Lösung aussehen?
Hmm... ginge das so:
n = 2k
n = 2k+1
[mm] c_{2k}= -\bruch{1}{i*2k}*(-1)^{2k} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2ik}
[/mm]
[mm] c_{2k+1}= -\bruch{1}{i*(2k+1)}*(-1)^{2k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i*(2k+1)}
[/mm]
???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Fr 09.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
Die Frage ist nach wie vor offen. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Fr 09.11.2018 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] c_{2k}= -\bruch{1}{i\cdot{}2k}\cdot{}(-1)^{2k} [/mm] $ = $ [mm] -\bruch{1}{2ik} [/mm] $
$ [mm] c_{2k+1}= -\bruch{1}{i\cdot{}(2k+1)}\cdot{}(-1)^{2k+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{i\cdot{}(2k+1)} [/mm] $
ist richtig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Fr 09.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
Dankeschön!!
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