www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Gleichung
Komplexe Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Komplexe Gleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 19.03.2014
Autor: Boastii

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
[mm] z^3 = 2 [/mm]

Grüßt Euch,

nun ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich da rann gehen soll. Mir ist klar dass es eine Lösung gibt - eine reelle - [mm] z_1 = \wurzel[3]{2} [/mm]. Mir ist nur schleierhaft wie ich auf die andern beiden komplexen Lösungen kommen kann..

Ich hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.

Lg Boastii

        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Mi 19.03.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

hast du die Gleichung [mm] z^n=a [/mm] so ergibt sich als Lösung:

   [mm] z_k=\sqrt[n]{|a|}\exp\left(\frac{i\phi+2\pi ik}{n}\right) [/mm]

wobei natürlich k=0,1,2,...,n-1


Alternativ könnte man auch den Ansatz über z=a+ib wählen. Doch die anschließenden Rechnungen sind wohl sehr unangenehm.

Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mi 19.03.2014
Autor: Boastii

Okay vielen Dank soweit,

ich werde nun versuchen das anzuwenden:

[mm] z^n = a [/mm]
nun sei bei meiner Aufgabe [mm] n=3 , a=2 [/mm]

weiter sei für meine Aufgabe:

[mm] z_0= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi }{3}) [/mm]
[mm] z_1= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi + 2\pi i }{3}) [/mm]
[mm] z_2= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi + 4\pi i }{3}) [/mm]

So aber da ist ja überhaupt nicht die einfache reelle Lösung dabei.
meine Frage wäre jetzt nur, was wäre jetzt hier [mm] \phi [/mm] ?

Lg Boastii

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mi 19.03.2014
Autor: leduart

Hallo
was ist denn das Argument  [mm] \phi [/mm] von 2 wenn du [mm] 2=2*e^{i*\phi} [/mm] schreibst. denk dran [mm] \phi [/mm] ist der Winkel zur reellen Achse.
(vielleicht übst du dann noch mal mit [mm] z^3=-2 [/mm] und [mm] z^3=2i [/mm] )
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Guten Tag,
danke erstmal für eure Antworten.

Also damit
[mm] 2 = 2 * e^{ i \phi } [/mm] gilt, muss [mm] e^{i \phi} = 1 [/mm] sein, und das geht meiner Meinung nach nur wenn [mm] \phi = 0 [/mm] ist. ?

wie kann ich denn Phi allgemein berechnen?

Wünsche Euch noch einen schönen sonnigen Tag
Mfg

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Do 20.03.2014
Autor: MathePower

Hallo Boastii,

> Guten Tag,
> danke erstmal für eure Antworten.
>  
> Also damit
> [mm]2 = 2 * e^{ i \phi }[/mm] gilt, muss [mm]e^{i \phi} = 1[/mm] sein, und
> das geht meiner Meinung nach nur wenn [mm]\phi = 0[/mm] ist. ?
>
> wie kann ich denn Phi allgemein berechnen?
>


Nun, da die Exponentialfunktion im Komplexen periodisch ist,
ergeben sich die Lösungen zu:

[mm]\phi_{k}=2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]


> Wünsche Euch noch einen schönen sonnigen Tag
>  Mfg


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Guten Tag,

Okay ich habe jetzt auch gesehen das [mm] tan(\phi)= \frac{y}{x} [/mm] gilt, diese Lösung jetzt nur für [mm] tan(\ohi) = 0 [/mm]. Wahrscheinlich oder?

ich werde das jetzt mal versuchen und dann meine Lösung hier präsentieren.

Lg Boastii

Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Do 20.03.2014
Autor: MathePower

Hallo   Boastii,

> Guten Tag,
>
> Okay ich habe jetzt auch gesehen das [mm]tan(\phi)= \frac{y}{x}[/mm]
> gilt, diese Lösung jetzt nur für [mm]tan(\ohi) = 0 [/mm].
> Wahrscheinlich oder?
>


Das ist eine Lösung, wenn y=0 und [mm]x\not=0[/mm].


> ich werde das jetzt mal versuchen und dann meine Lösung
> hier präsentieren.
>
> Lg Boastii


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Ahh ich glaube ich habe es:

[mm] z^3 = 2 [/mm]

Anwendung der Moivre-Formel:

mit [mm] r= \wurzel{2^2+0^2 } = 2 [/mm]
und [mm] [mm] \phi [/mm] = artan(0/2) +  2k [mm] \pi [/mm] = [mm] 2k\pi[/mm]  [mm]

somit sind die Lösungen:
[mm] z_0 = \wurzel[3]{2} * exp(\frac{i*0 + 0*2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} [/mm]
[mm] z_1= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{2i\pi + 2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2}* exp(\frac{4i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} * \wurzel[3]{(-1)^4}= -\wurzel[3]{2}* \wurzel[3]{(-1)} = -\wurzel[3]{2*(-1)} = -\wurzel[3]{-2}[/mm]
[mm] z_2= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{8i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} *\wurzel[3]{(-1)^8} = \wurzel[3]{2} *(-1)^{\frac{2}{3}} [/mm]

Ich denke ich habe es verstanden, danke für Eure Mühe und Hilfe.

Liebe Grüße Boastii

Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexe Gleichung: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Do 20.03.2014
Autor: Loddar

Hallo Boastii!


Ich befürchte, so ganz verstanden hast Du es doch noch nicht.


> mit [mm]r= \wurzel{2^2+0^2 } = 2[/mm]

[ok]


> und [mm]\phi[/mm] = artan(0/2) + 2k [mm]\pi[/mm] = [mm]2k\pi[/mm]

[notok] Es gilt hier schlicht: [mm]\varphi \ = \ \arctan\left(\bruch{0}{2}\right) \ = \ \arctan(0) \ = \ 0[/mm] .


> [mm]z_0 = \wurzel[3]{2} * exp(\frac{i*0 + 0*2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2}[/mm]

[ok] Das sieht noch okay aus.


> [mm]z_1= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{2i\pi + 2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2}* exp(\frac{4i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} * \wurzel[3]{(-1)^4}= -\wurzel[3]{2}* \wurzel[3]{(-1)} = -\wurzel[3]{2*(-1)} = -\wurzel[3]{-2}[/mm]

Ab hier wird es sehr abenteuerlich. Wie kommst Du urplötzlich auf die Wurzeln aus [mm](-1)_[/mm] ?

Es gilt:

[mm]z_{\red{1}} \ = \ \wurzel[3]{2}*\exp\left(\bruch{0+\red{1}*2\pi}{3}*i\right) \ = \ \wurzel[3]{2}*\exp\left(\bruch{2\pi}{3}*i\right) \ = \ \wurzel[3]{2}*\left[\cos\left(\bruch{2\pi}{3}\right)+i*\sin\left(\bruch{2\pi}{3}\right)\right] \ = \ \wurzel[3]{2}*\left[-\bruch{1}{2}+i*\bruch{\wurzel{3}}{2}\right][/mm]


> [mm]z_2= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{8i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} *\wurzel[3]{(-1)^8} = \wurzel[3]{2} *(-1)^{\frac{2}{3}}[/mm]

Noch abenteuerlicher. Siehe oben!



Gruß
Loddar

Bezug
                                                                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Hallo Loddar,

Also ich hatte gedacht das ich das so einfach machen kann da ja [mm] [mm] e^{i\pi} [/mm] = -1 [mm] gilt?
Und wenn man das einsetzt komme ich auf meine Lösungen.

Also ich werde mich nochmal dran setzten und alles neu  versuchen.

danke soweit aber :)

MfG

Bezug
                                                                                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Rechenfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Do 20.03.2014
Autor: Loddar

Hallo Boastii!


> Also ich hatte gedacht das ich das so einfach machen kann
> da ja [mm]e^{i\pi} = -1 [/mm] gilt?

Aber Du rechnest dann falsch weiter. Es gilt z.B.:

[mm] $\wurzel[3]{(-1)^4} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{\red{+}1} [/mm] \ = \ [mm] \red{+}1$ [/mm]

Das führt Dich also stets auf die bereits bekannte Lösung [mm] $z_0$ [/mm] .


Gruß
Loddar
 

Bezug
                                                                                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Okay, ich werde es gleich nochmal versuchen und gleich Lösungen von 2 Aufgaben hier posten :)

Danke für Eure Geduld ;)

Bezug
        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Mi 19.03.2014
Autor: reverend

Hallo Boastii,

> Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
>  [mm]z^3 = 2[/mm]
>  Grüßt Euch,
>  
> nun ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich da rann gehen
> soll. Mir ist klar dass es eine Lösung gibt - eine reelle
> - [mm]z_1 = \wurzel[3]{2} [/mm]. Mir ist nur schleierhaft wie ich
> auf die andern beiden komplexen Lösungen kommen kann..

Ihr solltet die MBMoivre-Formel gehabt haben.
Das ist letztlich der gleiche Tipp wie richies.

Grüße
reverend

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de