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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe Gleichung
Komplexe Gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Do 14.05.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden komplexen Gleichung:
sin(z)=sin(|z|)

Also...

Ich habe so angefangen:

[mm] sin(x+jy)=sin(\sqrt{x^2+y^2}) [/mm]
[mm] sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2}) [/mm]

Dann kann man den Koeffizientenvergleich machen:

Realteil:
[mm] sin(x)*cosh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2}) [/mm]

Imaginärteil:
cos(x)*sinh(y)=0
cos(x)=0 [mm] \vee [/mm] sinh(y)=0
[mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi \vee [/mm] y=0

das in die Gleichung für den Realteil einsetzen:
[mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi: [/mm]
[mm] sin(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)*cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2}) [/mm]
[mm] cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2}) [/mm]

[mm] y=arcosh(sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2})) [/mm]

doofe Frage aber muss ich den Term jetzt wirklich ausrechnen oder gibt es da noch einen anderen weg?

Danke und Gruß,
tedd

        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Do 14.05.2009
Autor: abakus


> Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden komplexen
> Gleichung:
>  sin(z)=sin(|z|)
>  Also...
>  
> Ich habe so angefangen:
>  
> [mm]sin(x+jy)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]

Hallo,
hieraus ergibt sich doch sofort die Möglichkeit [mm] x+iy=\sqrt{x^2+y^2}. [/mm]
Wie ich mich zu erinnern glaube, hat auch die komplexe Sinusfunktion die Periode [mm] 2\pi, [/mm]
also kann man ergänzen zu
[mm] x+jy+2\pi=\sqrt{x^2+y^2}. [/mm]
Der Koeffizientenvergleich führt sofort auf y=0.
Gruß Abakus

>  [mm]sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]
>  
> Dann kann man den Koeffizientenvergleich machen:
>  
> Realteil:
>  [mm]sin(x)*cosh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]
>  
> Imaginärteil:
>  cos(x)*sinh(y)=0
>  cos(x)=0 [mm]\vee[/mm] sinh(y)=0
>  [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi \vee[/mm] y=0
>  
> das in die Gleichung für den Realteil einsetzen:
>  [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi:[/mm]
>  
> [mm]sin(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)*cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2})[/mm]
>  [mm]cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2})[/mm]
>  
> [mm]y=arcosh(sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2}))[/mm]
>  
> doofe Frage aber muss ich den Term jetzt wirklich
> ausrechnen oder gibt es da noch einen anderen weg?

Keine Ahnung,
ich möchte nur noch eine Idee einstreuen:
Wie wäre es denn, wenn man mit den Reihenentwicklungen von sin(z) und sin(|z|) arbeitet?
Gruß Abakus

>  
> Danke und Gruß,
>  tedd


Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Do 14.05.2009
Autor: fencheltee

Hallo,
hab die Frage quasi auch schon gestellt:
https://matheraum.de/read?t=548015
evtl. hilfts dir weiter

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