www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe Gleichung
Komplexe Gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 So 05.07.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Komplexen Gleichung:
[mm] z^3=|z| [/mm]

Halloooo!

Also ich denke man kriegt das am schnellsten in der Eulerschen Darstellung hin:

[mm] z^3=|z| [/mm]

[mm] \gdw |z|^3*e^{j*3*arg(z)}=|z| [/mm]

Habe ich richtig in die Eulersche Darstellung umgeformt?
Jetzt kann ich den ersten Fall für [mm] |z|\not= [/mm] untersuchen:

[mm] \gdw |z|^2*e^{j*3*arg(z)}=1 [/mm]

Ab jetzt werde ich unsicher... muss ich jetzt die Beträge und die Argumente vergleichen?

Das wär ja dann folgendes:

Beträge : [mm] |z|^2=1 \gdw x^2+y^2=1 [/mm]
Argumente: [mm] 3*arg(z)=2*k*\pi \gdw arg(z)=\bruch{2}{3}*k*\pi [/mm]

Irgendiwe habe ich das Gefühl, dass ich da was falsch gemacht hab und ausserdem weis ich nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll. arg(z) kann ich auch als [mm] \arctan{\bruch{y}{x}} [/mm] schreiben aber ob ich da so machen muss!?
Schonmal danke im vorraus für eure Hilfe! [ok]

Gruß,
tedd
        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 So 05.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo tedd,

> Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Komplexen
> Gleichung:
>  [mm]z^3=|z|[/mm]
>  Halloooo!
>  
> Also ich denke man kriegt das am schnellsten in der
> Eulerschen Darstellung hin:
>  
> [mm]z^3=|z|[/mm]
>  
> [mm]\gdw |z|^3*e^{j*3*arg(z)}=|z|[/mm] [ok]
>  
> Habe ich richtig in die Eulersche Darstellung umgeformt?
>  Jetzt kann ich den ersten Fall für [mm] $|z|\not=\red{0}$ [/mm] untersuchen:

Also für [mm] $z\neq [/mm] 0$

>  
> [mm]\Rightarrow |z|^2*e^{j*3*arg(z)}=1[/mm] [ok]
>  
> Ab jetzt werde ich unsicher... muss ich jetzt die Beträge
> und die Argumente vergleichen?

Jo

>  
> Das wär ja dann folgendes:
>  
> Beträge : [mm]|z|^2=1 \gdw x^2+y^2=1[/mm]

Ja, einfacher, [mm] $|z|^2=1\Rightarrow |z|=\pm 1\Rightarrow [/mm] |z|=1$, also auf dem Einheitskreis

> Argumente: [mm]3*arg(z)=2*k*\pi \gdw arg(z)=\bruch{2}{3}*k*\pi[/mm]

Hier würde ich eher sagen, dass (mit [mm] $arg(z)=\varphi) [/mm] wegen [mm] $|z|^2\cdot{}e^{3j\varphi}=1=1\cdot{}e^{0\cdot{}j}$ [/mm] wie folgt vergleichen musst:

[mm] $3\varphi\equiv [/mm] 0 \ [mm] \mod(2\pi)$ [/mm]

Also [mm] $\varphi\equiv [/mm] .... $

Das in dieser Rechnung ausgeschlossene [mm] $z=0=0+0\cdot{}j$ [/mm] erfüllt die Ausgangsgleichung trivialerweise auch, so dass neben der sich mit obiger Rechnung ergebenden Lösung $z=0$ ebenfalls eine ist ..

>  
> Irgendiwe habe ich das Gefühl, dass ich da was falsch
> gemacht hab und ausserdem weis ich nicht wie ich jetzt
> weiter vorgehen soll. arg(z) kann ich auch als
> [mm]\arctan{\bruch{y}{x}}[/mm] schreiben aber ob ich da so machen
> muss!?
>  Schonmal danke im vorraus für eure Hilfe! [ok]
>  
> Gruß,
>  tedd

LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 So 05.07.2009
Autor: tedd

Hi Schachuzipus :-)
> Hallo tedd,
>  
>  
> Hier würde ich eher sagen, dass (mit [mm]$arg(z)=\varphi)[/mm]
> wegen [mm]$|z|^2\cdot{}e^{3j\varphi}=1=1\cdot{}e^{0\cdot{}j}$[/mm]
> wie folgt vergleichen musst:
>  
> [mm]3\varphi\equiv 0 \ \mod(2\pi)[/mm]
>  
> Also [mm]\varphi\equiv ....[/mm]

Ich weis nicht recht ob ich das richtig verstanden habe, aber kann ich dann schreiben (so hatte ichs ja vorher eigentlich schon) : [mm] \phi=\bruch{2}{3}*k*\pi [/mm] ?

> Das in dieser Rechnung ausgeschlossene [mm]z=0=0+0\cdot{}j[/mm]
> erfüllt die Ausgangsgleichung trivialerweise auch, so dass
> neben der sich mit obiger Rechnung ergebenden Lösung [mm]z=0[/mm]
> ebenfalls eine ist ..
>  

Also hätte ich dann eine zwei Lösungen:
[mm] z_1=1*e^{j*\bruch{2}{3}*k*\pi} [/mm]
und
[mm] z_2=0 [/mm]

Allerdings bekomme ich wenn ich zurück in kartesich umwandeln würde für verschiedene k unterschiedliche Real- bzw Imaginärteile raus, weshalb hier wohl irgendwas noch nicht so ganz stimmt.

>
> LG
>  
> schachuzipus

Danke und Gruß,
tedd :-)
Bezug
                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 So 05.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hi Schachuzipus :-)

>  >  
> > [mm]3\varphi\equiv 0 \ \mod(2\pi)[/mm]
>  >  
> > Also [mm]\varphi\equiv ....[/mm]
>  
> Ich weis nicht recht ob ich das richtig verstanden habe,
> aber kann ich dann schreiben (so hatte ichs ja vorher
> eigentlich schon) : [mm]\phi=\bruch{2}{3}*k*\pi[/mm] ?

[daumenhoch]

Ich hatte (mal wieder) zu ungenau gelesen, du hast es natürlich richtig, ich habe es nur anders geschrieben.


> > Das in dieser Rechnung ausgeschlossene [mm]z=0=0+0\cdot{}j[/mm]
> > erfüllt die Ausgangsgleichung trivialerweise auch, so dass
> > neben der sich mit obiger Rechnung ergebenden Lösung [mm]z=0[/mm]
> > ebenfalls eine ist ..
>  >  
>
> Also hätte ich dann eine zwei Lösungen:
>  [mm]z_1=1*e^{j*\bruch{2}{3}*k*\pi}[/mm]

Davon gibt es modulo [mm] 2\pi [/mm] aber drei Stück:

[mm] $z_0=e^{\frac{2}{3}\pi j}$ [/mm]

[mm] $z_1=e^{\frac{4}{3}\pi j}$ [/mm]

[mm] $z_2=e^{\frac{6}{3}\pi j}=e^{2\pi j}=1$ [/mm]


Die liegen auf dem Einheitskreis und bilden ein gleichseitiges [mm] \triangle [/mm]

>  und
> [mm]z_2=0[/mm]
>  
> Allerdings bekomme ich wenn ich zurück in kartesich
> umwandeln würde für verschiedene k unterschiedliche Real-
> bzw Imaginärteile raus, weshalb hier wohl irgendwas noch
> nicht so ganz stimmt.

Doch, doch, alles i.O.



> Danke und Gruß,
>  tedd :-)


LG

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 So 05.07.2009
Autor: tedd

Super!

Danke fürs drüberschauen schachuzipus :-)

Gruß,
tedd
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de