Komplexe Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung:
[mm] z^{2} [/mm] + z - 1+3j = 0 |
Hallo,
also eigentlich dachte ich, kann ich solche Aufgaben..hmmm
1. ich denke mit j ist i gemeint, oder ? oder ist j eine andere konstante die ich nicht kenne?
2. löse ich diese aufgabe genauso wie andere quadratische gleichungen auch, NUR, dass mein absolutes glied eine komplexe zahl ist
3. soll ich nun das absolute glied in die e-form umwandeln ?
ich leg mal los...
-1+3j -> e-form
|z| = [mm] \wurzel{Im^{2} + Re^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{3^{2} + -1^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{10}
[/mm]
Phi = [mm] arctan(\bruch{3}{-1}) [/mm] ~ -1,2429n und da der realteil negativ ist liegt der punkt im 2. quadr. also nochmal + Pi ~ 1,8925
e-Form = [mm] \wurzel{10} [/mm] * [mm] e^{i1,8925}
[/mm]
nun in die pq formel rein:
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2}^{2}) - (\wurzel{10} * e^{i1,8925})}
[/mm]
ja toll ehm, nun stehe ich vor einem problem
wie rechne ich in meinem casio fx 991DE plus mit i ? ( [mm] e^{i1,8925} [/mm] )
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} - (\wurzel{10} * e^{i1,8925})}
[/mm]
hier komme ich nicht weiter... kann mir wer helfen ?
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Hallo Rudi Caput Corvi,
mal anders herum: die Lösungen sind [mm] z_1=-2+i [/mm] und [mm] z_2=1-i.
[/mm]
Kannst Du damit einen Weg rekonstruieren?
Bei der Wurzel bist Du noch nicht konsequent genug an die Polarform herangegangen...
Ach, und j statt i schreiben vor allem die E-Techniker, aber auch viele Physiker. Ansonsten ist das in der Tat das gleiche.
Grüße
reverend
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danke erstmal,,,,ehm nein , wie soll ich da einen weg rekunstruieren ?!?
und wie meinst du das, ich bin da nicht konsequent genug an die polarform ran gegangen ?
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Hallo nochmal,
> danke erstmal,,,,ehm nein , wie soll ich da einen weg
> rekunstruieren ?!?
Naja, hinterher ist man ja meist schlauer. Geh doch mal rückwärts vor. Welche Schritte sind umkehrbar?
> und wie meinst du das, ich bin da nicht konsequent genug
> an die polarform ran gegangen ?
Unter der Wurzel sollte nur ein Ausdruck des Typs [mm] e^c [/mm] stehen. Dazu musst Du die Umrechnung in die Polarform später ansetzen, denn zum Addieren ist die Form kaum geeignet.
Grüße
reverend
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ich verstehe zwar oft nur bahnhof, aber ich versuch mal das umzusetzen, was du mit "unter der wurzel soll NUR [mm] e^x [/mm] stehen...
also soll ich wahrscheinlich erstmal das absolute glied in der kartesischen form lassen und ERST addieren.....danach in e form umwandeln und dann die wurzel ziehen ?
ich geh nochmal zurück:
$ [mm] z^{2} [/mm] $ + z - 1+3j = 0 ist die aufgabe....
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2}^2)- (- 1+3j)} [/mm] -> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + 1- 3j} [/mm] -> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{5}{4} - 3j}
[/mm]
jetzt stehe ich wieder vor dem problem, dass ich nicht weiß, wie ich die wurzel aus der komplexen zahl ziehen soll....
kann ich dafür die moivre formel nehmen ? ODER .... ich muss doch einfach nur [mm] (\bruch{5}{4} [/mm] - [mm] 3j)^2 [/mm] ...quadrieren und öse somit die wurzel auf ?!?
für die moivre formel muss ich ja erst wieder umformen, ist es da nicht einfacher zu rechnen:
[mm] (\bruch{5}{4} [/mm] - 3j) * [mm] (\bruch{5}{4} [/mm] - 3j) = [mm] \bruch{25}{16} [/mm] - [mm] \bruch{15}{4}i [/mm] - [mm] \bruch{15}{4}i +9i^2 [/mm] = [mm] -\bruch{119}{16} -\bruch{15}{2}i [/mm] = -7,4375 - 7,5i
und nun:
z1= [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + -7,4375 - 7,5i = -7,9375 -7,5i
z2 = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - -7,4375 - 7,5i = 6,9375 -7,5i
vllt. habe ich ja glück und es ist so richtig ?!?!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Liest Du, was man Dir schreibt ? Offenbar nicht ...
https://matheraum.de/read?i=1050360
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Do 29.01.2015 | | Autor: | Smuji |
da bin ich auch überfragt.
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Doch lese ich, allerdings habe ich ja auch oben geschrieben, dass ich nur bahnhof verstehe...
ich habe gemerkt, dass ich da irgendeinen mist geschrieben habe...allerdings verstehe ich deine formel nicht....
es wäre nett wenn du sie mir mal ein wenig verdeutlichen könntest...
w=u+iv (u,v $ [mm] \in \IR) [/mm] $ und $ [mm] w^2=\bruch{5}{4}-3i [/mm] $
Das liefert $ [mm] u^2-v^2= \bruch{5}{4} [/mm] $ und 2uv=-3.
w=u+iv beudetet ? die wurzel w = Re + Im ?!?
[mm] w^2=\bruch{5}{4}-3i [/mm] das verstehe ich schon eher...die wurzel zum quadrat ist das gleiche wie das was derzeit unter meiner wurzel steht...bzw... wurzel quadrieren hebt sie einfach auf...
und dann ?!?....bahnhof....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 31.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:28 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Wurzeln aus
[mm] \bruch{1}{4}-(-1+3i)=\bruch{5}{4}-3i
[/mm]
berechne am besten über den Ansatz
w=u+iv (u,v [mm] \in \IR) [/mm] und [mm] w^2=\bruch{5}{4}-3i
[/mm]
Das liefert [mm] u^2-v^2= \bruch{5}{4} [/mm] und 2uv=-3.
FRED
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Aus [mm]z^2 + z - 1 + 3 \operatorname{i} = 0[/mm] bekommt man mit der Lösungsformel sofort [mm]z = \frac{-1 \pm \sqrt{5 - 12 \operatorname{i}}}{2}[/mm] .
Nun braucht man die beiden Lösungen der Gleichung [mm]\gamma^2 = 5 - 12 \operatorname{i}[/mm]. Setzt man [mm]\gamma = a + \operatorname{i}b[/mm] mit [mm]a,b \in \mathbb{R}[/mm], so erhält man durch Vergleich von Real- und Imaginärteil das Gleichungssystem
[mm]a^2 - b^2 = 5 \ \ \wedge \ \ ab = -6[/mm]
Daß es ganzzahlige Lösungen [mm]a,b[/mm] besitzt, ist nicht selbstverständlich. Aber unter der Hypothese, daß ganzzahlige Lösungen existieren, kann man die Möglichkeiten schnell einschränken. Wegen [mm]ab = -6[/mm] kommen nur [mm]\{ a,b \} = \{ 1,-6 \}[/mm] oder [mm]\{ a,b \} = \{ -1,6 \}[/mm] oder [mm]\{ a,b \} = \{ 2,-3 \}[/mm] oder [mm]\{ a,b \} = \{ -2,3 \}[/mm] in Frage. Geht man sämtliche Möglichkeiten durch, findet man [mm]a = 3, \, b=-2[/mm] oder [mm]a=-3, \, b=2[/mm] als Lösungen. Daher gilt:
[mm]z = \frac{-1 \pm \sqrt{5 - 12 \operatorname{i}}}{2} = \frac{-1 \pm \left( 3 - 2 \operatorname{i} \right)}{2}[/mm]
Das führt zu den beiden Lösungen [mm]z = 1 - \operatorname{i}[/mm] oder [mm]z = -2 + \operatorname{i}[/mm].
Zu Polarformen und Ähnlichem würde ich erst bei komplizierteren Zahlen greifen oder wenn keine ganzzahligen Lösungen existieren.
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Aus $ [mm] z^2 [/mm] + z - 1 + 3 [mm] \operatorname{i} [/mm] = 0 $ bekommt man mit der Lösungsformel sofort $ z = [mm] \frac{-1 \pm \sqrt{5 - 12 \operatorname{i}}}{2} [/mm] $
Welche Lösungsformel ?
Wie ziehe ich denn aus $ [mm] \bruch{5}{4}-3i [/mm] $ die wurzel ? nimmt man da moivre ?
gruß rudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 01.02.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
Lösungsformel : quadratische Ergänzung, was zur sog pq Formel führt, wie im Reellen. Für die Wurzel Moivre ist richtig
Gruß leduart
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[mm] \bruch{5}{4}-3i
[/mm]
kann nicht nicht einfach folgendes machen:
[mm] \wurzel{\bruch{5}{4}-3i} [/mm] = [mm] (\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}} [/mm] (klammer auflösen)
[mm] =\bruch{5}{8} [/mm] - [mm] \bruch{15}{8}i -\bruch{3}{2}i
[/mm]
= [mm] \bruch{5}{8} [/mm] - [mm] \bruch{27}{8}i
[/mm]
= [mm] \bruch{5}{8} [/mm] - [mm] 3\bruch{3}{8}i
[/mm]
gruß rudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{5}{4}-3i[/mm]
>
>
>
> kann nicht nicht einfach folgendes machen:
>
>
> [mm]\wurzel{\bruch{5}{4}-3i}[/mm] = [mm](\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> (klammer auflösen)
>
> [mm]=\bruch{5}{8}[/mm] - [mm]\bruch{15}{8}i -\bruch{3}{2}i[/mm]
Kannst Du mir mal Schritt für Schritt, sozusagen für Dummies erklären, wie Du dahin gekommen bist ?
Ich ahne etwas, aber wenn Du das wirklich so "gemacht " hast, wie ich vermute, dann .....
>
>
> = [mm]\bruch{5}{8}[/mm] - [mm]\bruch{27}{8}i[/mm]
Ist denn $ [mm] (\bruch{5}{8} [/mm] - [mm] \bruch{27}{8}i)^2= \bruch{5}{4}-3i [/mm] $ ????
>
> = [mm]\bruch{5}{8}[/mm] - [mm]3\bruch{3}{8}i[/mm]
Mit [mm]3\bruch{3}{8}[/mm] meinst Du sicher [mm]3+\bruch{3}{8}[/mm]
FRED
>
>
> gruß rudi
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sorry, ok ich erkläre:
$ [mm] \wurzel{\bruch{5}{4}-3i} [/mm] $ = $ [mm] (\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}} [/mm] $
mit klammer lösen habe ich es ähnlich gemacht wie bei einem binom nur statt [mm] a^2 [/mm] habe ich ...oh, ich glaube ich weiß was ich falsch gemachth abe, warte ich probiere es nochmal
[mm] \bruch{5}{4}^{0.5} [/mm] + [mm] (0,5*\bruch{5}{4}*-3i) -3^{0.5}
[/mm]
[mm] \bruch{25}{16} -\bruch{15}{8}i [/mm] -1,7321i = [mm] \bruch{25}{16} [/mm] -3,6071i
irgendwie habe ich mich jetzt selbst verwirrt
wie löse ich denn diese klammer auf ?
[mm] a^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*a*b [/mm] + [mm] b^{\bruch{1}{2}} [/mm] ????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> sorry, ok ich erkläre:
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> [mm]\wurzel{\bruch{5}{4}-3i}[/mm] = [mm](\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
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>
> mit klammer lösen habe ich es ähnlich gemacht wie bei
> einem binom nur statt [mm]a^2[/mm] habe ich ...oh, ich glaube ich
> weiß was ich falsch gemachth abe, warte ich probiere es
> nochmal
>
>
>
>
> [mm]\bruch{5}{4}^{0.5}[/mm] + [mm](0,5*\bruch{5}{4}*-3i) -3^{0.5}[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{25}{16} -\bruch{15}{8}i[/mm] -1,7321i = [mm]\bruch{25}{16}[/mm]
> -3,6071i
>
>
> irgendwie habe ich mich jetzt selbst verwirrt
>
>
> wie löse ich denn diese klammer auf ?
>
> [mm]a^{\bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*a*b[/mm] + [mm]b^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> ????
Ich habs geahnt ..., und schaue in einen Abgrund ... !
Obiges ist nicht Dein Ernst, oder ?
Mit a=9 und b=4, wäre nach der "Rabenkopfmathematik"
[mm] $\wurzel{5}=-13$
[/mm]
FRED
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dann hilf mir bitte auf die sprünge,,,,OHNE rabenkopfmathematik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> dann hilf mir bitte auf die sprünge,,,,OHNE
> rabenkopfmathematik
Hab ich das hier
https://matheraum.de/read?i=1050360
nicht schon getan ?
FRED
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Hallo,
> dann hilf mir bitte auf die sprünge,,,,OHNE
> rabenkopfmathematik
Ohne alles gelesen zu haben :
1) quadratische Ergänzung
2) Wie sieht dann denn z=... aus? (Tipp: Lösungsformel)
LG Thomas
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