Komplexe Gleichung zeichnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Do 12.05.2011 | | Autor: | fl0nk |
Hallo zusammen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: (dort sind auch einige Lösungsideen von mir zu lesen, allerdings bekomme ich dort keine Tipps)
Link: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=455966
Ich stehe moment vor folgendem Problem:
Ich soll die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] Re(\bar c*z) + \alpha = 0 , c,z \in \IC , \alpha \in \IR [/mm]
zeichnen.
Im Endeffekt erhalte ich
[mm]ax+by+\alpha=0,fuer z=a+bi , c=x+yi[/mm]
habe aber keine Ahnung wie ich es zeichnen soll...
Ist meine Lösung überhaupt richtig?
Aber wenn ja, wie kann ich das in der komplexen Ebene zeichnen?
Ich habe ja nur noch reelle Anteile...
Hoffe mir kann jemand helfen.
Gruß
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Hallo fl0nk, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
komische Aufgabe.
Deine Lösung im anderen Forum ist richtig, und in der Tat handelt es sich um eine Geradengleichung, die auch in der komplexen Zahlenebene darstellbar ist.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: (dort sind auch einige
> Lösungsideen von mir zu lesen, allerdings bekomme ich dort
> keine Tipps)
> Link: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=455966
>
> Ich stehe moment vor folgendem Problem:
>
> Ich soll die Lösungsmenge der Gleichung
>
> [mm]Re(\bar c*z) + \alpha = 0 , c,z \in \IC , \alpha \in \IR [/mm]
>
> zeichnen.
>
> Im Endeffekt erhalte ich
>
> [mm]ax+by+\alpha=0,fuer z=a+bi , c=x+yi[/mm]
>
> habe aber keine Ahnung wie ich es zeichnen soll...
> Ist meine Lösung überhaupt richtig?
> Aber wenn ja, wie kann ich das in der komplexen Ebene
> zeichnen?
> Ich habe ja nur noch reelle Anteile...
Ein Beispiel: für c=2+3i ist [mm] $\bar{c}$=2-3i [/mm] und die Lösungsmenge sind alle z=x+yi, für die gilt [mm] 2x+3y+\alpha=0. [/mm] Die Lösungsmenge ist als Gerade in der komplexen Ebene darstellbar.
Allerdings frage ich mich, wie sich der Aufgabensteller vorstellt, dass man das für ein allgemeines [mm] c\in\IC [/mm] zeichnen soll. Da kannst Du gleich die ganze Ebene schwärzen.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Grüße
reverend
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 12.05.2011 | | Autor: | fl0nk |
Alles klar.
Aber wie zeichne ich denn eine Gerade, die eigentlich nur aus realen Anteilen besteht in einem Koordinatensystem mit Imaginär- und Realachse?
Zu der komischen Aufgabenstellung hier mal der Originaltext:
Es seien [mm]\alpha \in \IR[/mm] und [mm]c \in \IC[/mm]. Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene [mm]\IC[/mm] wird durch folgende Gleichung für [mm]z \in \IC[/mm] beschrieben? Zeichnen Sie diese!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar.
> Aber wie zeichne ich denn eine Gerade, die eigentlich nur
> aus realen Anteilen besteht in einem Koordinatensystem mit
> Imaginär- und Realachse?
[mm] \IC [/mm] ist als Menge doch nichts anderes als der [mm] \IR^2. [/mm] Der "Unterschied" liegt nur in der Bez. der Elemente:
x+iy <----> (x,y)
FRED
>
> Zu der komischen Aufgabenstellung hier mal der
> Originaltext:
>
> Es seien [mm]\alpha \in \IR[/mm] und [mm]c \in \IC[/mm]. Welche Teilmenge der
> komplexen Zahlenebene [mm]\IC[/mm] wird durch folgende Gleichung
> für [mm]z \in \IC[/mm] beschrieben? Zeichnen Sie diese!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 12.05.2011 | | Autor: | fl0nk |
Achso und da ich quasi eine allegeine Geradengleichung mit Bestandteilen, die nur aus [mm]\IR[/mm] sind, spielt die Imaginärkoordinate keine Rolle, das heißt ich kann jede beliebige einsetzen oder?
Das heißt ich male mir ein KO-System mit Im- und Re-Achse und schraffiere es einfach völlig?
Würde das dann heißen, dass ich mit dieser Gleichung hanz [mm]\IC[/mm] darstelle!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Achso und da ich quasi eine allegeine Geradengleichung mit
> Bestandteilen, die nur aus [mm]\IR[/mm] sind, spielt die
> Imaginärkoordinate keine Rolle, das heißt ich kann jede
> beliebige einsetzen oder?
> Das heißt ich male mir ein KO-System mit Im- und Re-Achse
> und schraffiere es einfach völlig?
>
> Würde das dann heißen, dass ich mit dieser Gleichung hanz
> [mm]\IC[/mm] darstelle!?
Mit Verlaub, aber obiges ist kollossaler Blödsinn.
Ich mach Dir ein simples Beispiel: mit z=x+iy (x,y [mm] \in \IR) [/mm] gilt (recne es nach !):
(*) Re((1+i)z)=1
[mm] \gdw
[/mm]
y=x-1.
Somit wird durch (*) eine Gerade dargestellt. Wenn Du dies Gerade zeichnen willst, so male ein x-y-Koordinatensystem und zeichne in dieses die Gerade mit der Gl. y=x-1 ein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Do 12.05.2011 | | Autor: | fl0nk |
Ok, das habe ich verstanden.
Aber wenn ich obige Gleichung nach y auflöse erhalte ich:
[mm] y=\bruch{-ax-\alpha}{b}[/mm]
Jetzt könnte ich ja die Lösungsmenge mit Hilfe verschiedener Geraden im reellen Koordinatensystem zeichnen.
Aber da gibt es doch theoretisch unendlich viele oder?
Ich glaub ich steh hier gerade echt voll auf dem Schlauch...
Oder soll mit "stellen Sie diese Teilmengen der komplexen Ebene dar" vielleicht gemeint sein, ich soll stellvertretend eine Gerade einzeichnen und sagen, dass diese von den jeweiligen Parametern abhaängt?
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> Ok, das habe ich verstanden.
>
> Aber wenn ich obige Gleichung nach y auflöse erhalte ich:
>
> [mm]y=\bruch{-ax-\alpha}{b}[/mm]
>
> Jetzt könnte ich ja die Lösungsmenge mit Hilfe
> verschiedener Geraden im reellen Koordinatensystem
> zeichnen.
> Aber da gibt es doch theoretisch unendlich viele oder?
>
> Ich glaub ich steh hier gerade echt voll auf dem
> Schlauch...
>
> Oder soll mit "stellen Sie diese Teilmengen der komplexen
> Ebene dar" vielleicht gemeint sein, ich soll
> stellvertretend eine Gerade einzeichnen und sagen, dass
> diese von den jeweiligen Parametern abhaängt?
Gemeint ist doch, dass [mm] c\in\IZ [/mm] und [mm] \alpha\in\IR [/mm] gegeben
sein sollen und dass man sich dann überlegen soll,
wie die Lösungsmenge für z aussieht. Da keine kon-
kreten Zahlenwerte für c und [mm] \alpha [/mm] gegeben sind, bleibt
einem für eine Zeichnung nichts anderes, als selber
ein Beispiel zu machen. An diesem kann man dann
noch die vorliegenden geometrischen Zusammenhänge
aufzeigen. Zum Beispiel ist der Pfeil c ein Normalen-
vektor der Lösungsgerade. Zur Bestimmung der
genauen Lage der Geraden könnte man ein Kon-
struktionsrezept aufstellen, bei dem man davon
ausgeht, dass auch der reelle Parameter [mm] \alpha [/mm] als
Punkt auf der reellen Achse vorgegeben ist.
LG Al-Chw.
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Ich habe nun mit Geogebra ein Applet zur Aufgabe erstellt.
Hier zeige ich aber nur ein damit erstelltes Bild, da Applets
offenbar nicht freigegeben werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Konstruktionsbeschreibung:
Gegeben sei der Punkt $\ c=a+i*b$ in der komplexen Ebene
sowie der Punkt [mm] \alpha [/mm] auf der reellen Achse.
Von c fällt man das Lot auf die reelle Achse zum Punkt
$\ a=Re(c)$. Man zeichnet das rechtwinklige Dreieck, dessen
erste Kathete von diesem Punkt zu i (imaginäre Einheit)
führt, wo das Dreieck seinen rechten Winkel hat. Die
Hypotenuse liegt auf der reellen Achse.
Durch den Punkt [mm] \alpha [/mm] legt man eine Gerade der
Steigung -1 , um den Punkt [mm] F=i*\alpha [/mm] auf der imaginären
Achse zu bestimmen. Durch diesen Punkt F legt man eine
Parallele zur zweiten Kathete des rechtwinkligen Dreiecks
von vorher. Durch den Schnittpunkt G dieser Parallelen
mit der reellen Achse legt man schließlich die zum
Vektor c normale Gerade g. Dies ist die Gerade mit der
Gleichung
$ [mm] ax+by+\alpha=0$
[/mm]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 12.05.2011 | | Autor: | fl0nk |
Alles klar, danke.
Nun habe ich eher noch eine weitere Frage was die Form eines anderen Graphen angeht, bei der ich mir nicht mehr so sicher bin.
Habe noch eine zweite Aufgabe dieser Art bei der nach Umformen
[mm]x²+y²+2ax+2by\le0[/mm]
herauskommt.
/edit:
Kann man das eventuell noch weiter umformen?
Ist dies eine Hyperbelgleichung?
Bin mir da wie gesagt nicht mehr so ganz sicher.
Lösung wäre ja dann der Graph und die Fläche "unter den Ästen" (jetzt nicht zu verstehen wie beim Integral)
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> Alles klar, danke.
> Nun habe ich eher noch eine weitere Frage was die Form
> eines anderen Graphen angeht, bei der ich mir nicht mehr so
> sicher bin.
> Habe noch eine zweite Aufgabe dieser Art bei der nach
> Umformen
>
> [mm]x²+y²+2ax+2by\le0[/mm]
>
> herauskommt.
In dieser Gleichung sieht man mal wieder die Exponenten
gar nicht !
Verwendet doch nicht diese doofen Tastaturexponenten,
mit denen [mm] T_{E}X [/mm] nichts anfangen kann !
> /edit:
> Kann man das eventuell noch weiter umformen?
Ja, durch quadratische Ergänzung. Aber füge doch zunächst
mal die Exponenten so ein, dass man sie auch wirklich
sehen kann.
> Ist dies eine Hyperbelgleichung?
Nein. Hat eher mit Ellipse zu tun.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Do 12.05.2011 | | Autor: | fl0nk |
Also wenn ich quadratisch ergänze erhalte ich:
[mm](x+a)^2+(y+b)^2 \le a^2+b^2[/mm]
Ist das ganze dann eine Kreisgleichung mit Radius [mm]\wurzel{a^2+b^2}[/mm] ?
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> Also wenn ich quadratisch ergänze erhalte ich:
>
> [mm](x+a)^2+(y+b)^2 \le a^2+b^2[/mm]
>
> Ist das ganze dann eine Kreisgleichung mit Radius
> [mm]\wurzel{a^2+b^2}[/mm] ?
Die Randlinie ist ein solcher Kreis.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 12.05.2011 | | Autor: | fl0nk |
Ja klar, das inner gehört ja auch zur Lösungsmenge wegen des [mm]\leq[/mm].
Eine letzte Frage noch, da ich das vergessen habe einzufügen:
Auf der linken seite steht nach den beiden Binomen noch zusätzlich [mm]+d[/mm].
Dies muss doch dann noch auf die rechte Seite, womit ich letztendlich einen Radius von [mm]\wurzel{a^2+b^2-d}[/mm] hätte oder? (oder ist da ein Denkfehler?^^)
/edit:
Habe gerade erst dein Bild entdeckt.
Muss man das trotz der Tatsache, dass nur reelle Anteile in den Gleichungen stehen im Komplexen Koordinatensystem zeichnen?
Wenn ja warum? Das leuchtet mir nicht so ganz ein.
Oder ist es egal ob ich im reellen oder komplexen KO-System zeichne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Fr 13.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du wie ueblich z=x+iyschreibst ist doch deine y-Achse die imaginaere Achse, also zeichnest du im [mm] R^2 [/mm] oder in der Gauss-ebene, das ist dasselbe.
Wenn du etwa |z|=1 shreibst ist das der Kreis um 0 mit radius 1, also wie du schreibst auch lauter reelle Zahlen, aber der Imaginaerteil kommt ja vor!
Du zeichnest ja nicht Re(z) sondern die Gleichung Re(cz)+a=0
Die Bedingung Re(z)=1 etwa gibt doch auch ne gerade in der Gaussebene, ne paralele zur maginaeren Achse.
Gruss leduart
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