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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Do 24.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 9. Zeige, dass das Gleichungssystem
[mm] iz_1 +2iz_2 [/mm] +(1 + [mm] i)z_3 [/mm] = [mm] w_1
[/mm]
(1 + [mm] i)z_1 [/mm] +(2 + [mm] i)z_2 [/mm] +(3 + [mm] 2i)z_3 [/mm] = [mm] w_2
[/mm]
(2 + i) [mm] z_1 [/mm] +(4 + 2i) [mm] z_2 [/mm] +(1 + [mm] 2i)z_3 [/mm] = [mm] w_3
[/mm]
für jedes w [mm] \in \IC^3 [/mm] eine eindeutige Lösung z [mm] \in \IC^3 [/mm] besitzt und bestimme diese Lösung. |
Hab Versucht den gaus algoritmus:
[mm] iz_1 +2iz_2 [/mm] +(1 + [mm] i)z_3 [/mm] = [mm] w_1
[/mm]
( - [mm] i)z_2 +(1+2i)z_3 [/mm] = [mm] w_1 [/mm] * (-1+i) + [mm] w_2
[/mm]
(-2 + [mm] 3i)z_3 [/mm] = [mm] w_1 [/mm] * (-1+2i) + [mm] w_3
[/mm]
an dieser Form ist deutlich zu erkennen dass es eine eindeutige lösung gibt.
Jetzt hab ich aber ein problem beim ausrechnen der z [mm] \in \IC^3
[/mm]
[mm] z_3 [/mm] = [mm] \frac{w_1 * (-1+2i) + w_3}{-2+3i}
[/mm]
wie soll ich dass den ausrechnen?mit die w´s?
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Hallo sissile,
> 9. Zeige, dass das Gleichungssystem
> [mm]iz_1 +2iz_2[/mm] +(1 + [mm]i)z_3[/mm] = [mm]w_1[/mm]
> (1 + [mm]i)z_1[/mm] +(2 + [mm]i)z_2[/mm] +(3 + [mm]2i)z_3[/mm] = [mm]w_2[/mm]
> (2 + i) [mm]z_1[/mm] +(4 + 2i) [mm]z_2[/mm] +(1 + [mm]2i)z_3[/mm] = [mm]w_3[/mm]
> für jedes w [mm]\in \IC^3[/mm] eine eindeutige Lösung z [mm]\in \IC^3[/mm]
> besitzt und bestimme diese Lösung.
> Hab Versucht den gaus algoritmus:
>
> [mm]iz_1 +2iz_2[/mm] +(1 + [mm]i)z_3[/mm] = [mm]w_1[/mm]
> ( - [mm]i)z_2 +(1+2i)z_3[/mm] = [mm]w_1[/mm] * (-1+i) + [mm]w_2[/mm]
> (-2 + [mm]3i)z_3[/mm] = [mm]w_1[/mm] * (-1+2i) + [mm]w_3[/mm]
>
> an dieser Form ist deutlich zu erkennen dass es eine
> eindeutige lösung gibt.
> Jetzt hab ich aber ein problem beim ausrechnen der z [mm]\in \IC^3[/mm]
>
> [mm]z_3[/mm] = [mm]\frac{w_1 * (-1+2i) + w_3}{-2+3i}[/mm]
> wie soll ich dass
> den ausrechnen?mit die w´s?
Erweitere jetzt mit dem konjugierz komplexen des Nenners:
[mm]z_3 = \frac{w_1 * (-1+2i) + w_3}{-2+3i}=\frac{w_1 * (-1+2i) + w_3}{-2+3i}*\bruch{-2-3i}{-2-3i}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 24.11.2011 | | Autor: | sissile |
Genau da hab ich probleme
[mm] z_3 [/mm] = [mm] \frac{w_1 *(8-i) + w_3*(-2-3i)}{13}
[/mm]
passt das so?
einsetzen in 2Glg.
(-i) [mm] z_2 [/mm] + [mm] \frac{(10+15i)w_1 + (4-7i)w_3}{13} [/mm] = [mm] w_1* [/mm] (-1+i) + [mm] w_2
[/mm]
(-i) [mm] z_2 =\frac{ 13w_1* (-1+i) + 13w_2 - (10+15i)w_1 - (4-7i)w_3}{13} [/mm]
(-i) [mm] z_2 [/mm] = [mm] \frac{13w_2 + (-23-2i)w_1 - (4-7i)w_3}{13}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] \frac{169iw_2 + (26-299i)w_1 - (91+52i)w_3}{169}
[/mm]
stimmt das irgendwie?
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Hallo rainerS,
> Hallo!
>
> > Genau da hab ich probleme
> >
> > [mm]z_3 = \frac{w_1 *(8-i) + w_3*(-2-3i)}{13}[/mm]
> > passt das
> so?
>
> Wenn du den Rechenfehler vom Anfang noch korrigierst:
>
> [mm]z_3 = \frac{w_1 *(\red{6}-\red{2}i) + w_3*(-2-\red{2}i)}{\red{8}} = \bruch{3-i}{4} w_1 + \bruch{-1-i}{4} w_3[/mm]
> .
>
Nach mehrmaligen kontrollieren auf die Richtigkeit des Gleichungssystems
bin ich zu dem Schluss gekommen, daß die von angegebene Lösung
[mm]z_3 = \frac{w_1 *(8-i) + w_3*(-2-3i)}{13}[/mm]
stimmt.
> Einsetzen:
>
> [mm]-i z_2 +\bruch{5+5i}{4}w_1 + \bruch{1-3i}{4} w_3 = (-1+i)w_1 + w_2[/mm]
>
> [mm]z_2 = \bruch{1-9i}{4} w_1 + i w_2 + \bruch{-3-i}{4} w_3[/mm] .
>
> Viele Grüße
> Rainer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 24.11.2011 | | Autor: | sissile |
mhm..aber stimmen tuts ja auch erweitert ;)
also weiter mit [mm] z_1 [/mm] ausrechnen
i [mm] z_1 [/mm] + 2i * [mm] (\frac{13iw_2 + (2-23i)w_1 - (7+4i)w_3}{13} [/mm] ) + (1+i) * ( [mm] \frac{w_1 \cdot{}(8-i) + w_3\cdot{}(-2-3i)}{13} [/mm] ) = [mm] w_1
[/mm]
i [mm] z_1 [/mm] + [mm] \frac{-26w_2 + (66+4i)w_1 - (-8+14i)w_3}{13} [/mm] + [mm] \frac{w_1 \cdot{}(9+7i) + w_3\cdot{}(1-5i)}{13} [/mm] ) = [mm] w_1
[/mm]
i [mm] z_1 [/mm] = [mm] \frac{13w_1}{13} [/mm] + [mm] \frac{+26w_2 +(-75-11i)*w_1 + (-9+29i)*w_3}{13}
[/mm]
i [mm] z_1 [/mm] = [mm] \frac{+26w_2 +(-62-11i)*w_1 + (-9+29i)*w_3}{13}
[/mm]
[mm] z_1= \frac{+26w_2 +(-62-11i)*w_1 + (-9+29i)*w_3}{13i}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \frac{-338 i w_2+ (-143+806i)*w_1 + (377+117i )*w_3}{169}
[/mm]
Ein Rechenfehler wäre dumm ;) Ist aber leider wahrscheinlich
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Hallo sissile,
> mhm..aber stimmen tuts ja auch erweitert ;)
>
> also weiter mit [mm]z_1[/mm] ausrechnen
> i [mm]z_1[/mm] + 2i * [mm](\frac{13iw_2 + (2-23i)w_1 - (7+4i)w_3}{13}[/mm]
> ) + (1+i) * ( [mm]\frac{w_1 \cdot{}(8-i) + w_3\cdot{}(-2-3i)}{13}[/mm]
> ) = [mm]w_1[/mm]
>
> i [mm]z_1[/mm] + [mm]\frac{-26w_2 + (66+4i)w_1 - (-8+14i)w_3}{13}[/mm] +
> [mm]\frac{w_1 \cdot{}(9+7i) + w_3\cdot{}(1-5i)}{13}[/mm] ) = [mm]w_1[/mm]
>
Hier muss es doch heissen:
[mm]i z_1 + \frac{-26w_2 + (\red{4}6+4i)w_1 - (-8+14i)w_3}{13} +
\frac{w_1 \cdot{}(9+7i) + w_3\cdot{}(1-5i)}{13} ) = w_1[/mm]
> i [mm]z_1[/mm] = [mm]\frac{13w_1}{13}[/mm] + [mm]\frac{+26w_2 +(-75-11i)*w_1 + (-9+29i)*w_3}{13}[/mm]
>
> i [mm]z_1[/mm] = [mm]\frac{+26w_2 +(-62-11i)*w_1 + (-9+29i)*w_3}{13}[/mm]
>
> [mm]z_1= \frac{+26w_2 +(-62-11i)*w_1 + (-9+29i)*w_3}{13i}[/mm]
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]\frac{-338 i w_2+ (-143+806i)*w_1 + (377+117i )*w_3}{169}[/mm]
>
> Ein Rechenfehler wäre dumm ;) Ist aber leider
> wahrscheinlich
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 24.11.2011 | | Autor: | sissile |
sch..Hast recht!, Danke
$ i [mm] z_1 [/mm] + [mm] \frac{-26w_2 + (\red{4}6+4i)w_1 - (-8+14i)w_3}{13} [/mm] + [mm] \frac{w_1 \cdot{}(9+7i) + w_3\cdot{}(1-5i)}{13} [/mm] ) = [mm] w_1 [/mm] $
i [mm] z_1 [/mm] = [mm] \frac{13w_1}{13} [/mm] + [mm] \frac{+26w_2 +(-55-11i)\cdot{}w_1 + (-9+29i)\cdot{}w_3}{13}
[/mm]
..= $ [mm] \frac{+26w_2 +(-42-11i)\cdot{}w_1 + (-9+29i)\cdot{}w_3}{13} [/mm] $
[mm] z_3 [/mm] = $ [mm] \frac{-338 i w_2+ (-143+546i)\cdot{}w_1 + (377+117i )\cdot{}w_3}{169} [/mm] $
Jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 24.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sch..Hast recht!, Danke
>
> [mm]i z_1 + \frac{-26w_2 + (\red{4}6+4i)w_1 - (-8+14i)w_3}{13} + \frac{w_1 \cdot{}(9+7i) + w_3\cdot{}(1-5i)}{13} ) = w_1[/mm]
>
>
> [mm]i z_1 = \frac{13w_1}{13} + \frac{+26w_2 +(-55-11i)\cdot{}w_1 + (-9+29i)\cdot{}w_3}{13}[/mm]
[mm]i z_1 = \frac{13w_1}{13} + \frac{+26w_2 +(-55-11i)\cdot{}w_1 + (-9+\red{1}9i)\cdot{}w_3}{13}[/mm]
>
> ..= [mm]\frac{+26w_2 +(-42-11i)\cdot{}w_1 + (-9+29i)\cdot{}w_3}{13}[/mm]
>
> [mm]z_3[/mm] = [mm]\frac{-338 i w_2+ (-143+546i)\cdot{}w_1 + (377+117i )\cdot{}w_3}{169}[/mm]
[mm] z_1 = \frac{-26iw_2 +(-11+42i)\cdot{}w_1 + (19+9i)\cdot{}w_3}{13}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke ;))
Liebe Grüße und schöne Wochenende
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Do 24.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 9. Zeige, dass das Gleichungssystem
> [mm]iz_1 +2iz_2 +(1 + i)z_3 = w_1[/mm]
> [mm](1 + i)z_1 +(2 + i)z_2 +(3 + 2i)z_3 = w_2[/mm]
> [mm](2 + i) z_1 +(4 + 2i) z_2 +(1 + 2i)z_3 = w_3[/mm]
> für jedes [mm]w \in \IC^3[/mm] eine eindeutige Lösung [mm]z \in \IC^3[/mm]
> besitzt und bestimme diese Lösung.
> Hab Versucht den gaus algoritmus:
>
> [mm]iz_1 +2iz_2 +(1 + i)z_3 = w_1[/mm]
> [mm]( - i)z_2 +(1+2i)z_3 = w_1 * (-1+i) + w_2[/mm]
> [mm](-2 + 3i)z_3 = w_1 * (-1+2i) + w_3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
EDIT falsch: [mm](-2 + \red{2}i)z_3 = w_1 * (-1+2i) + w_3[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 24.11.2011 | | Autor: | sissile |
wo hab ich mich da geirrt?
(-1+2i) * (1+i) + (1+2i) = (-3+i) + (1+2i) = -2 + 3i
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 24.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Sorry, mein Fehler, habe beim Abschreiben eine 2 unterschlagen.
- Rainer
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