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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Di 08.12.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
a) [mm] \integral_{|z-1|=1}{\bruch{e^{z}}{(z-1)(z-3)^{2}} dz}
[/mm]
b) [mm] \integral_{|z|=1}{\bruch{1}{(z)(z-w)} dz} [/mm] für w [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] |w|\not= [/mm] 1
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Hi zusammen,
ich soll also die obigen komplexen Integrale berechnen. Das ganze soll über die Cauchysche Integralformel geschehen, welche wir in der Vorlesung folgendermaßen definiert haben:
f(z) [mm] =\bruch{1}{2\pi i}* \integral_{\partial K}{\bruch{f(w)}{(w-z)} dw} [/mm] und K soll dabei eine Kreisscheibe in unserer betrachteten Menge D sein.
Ok und jetzt soll diese Formel also auf das Integral in erstmal a) angewendet werden.
Aber irgendwie verwirren mich bei a) schon die 2 Klammern unten im Nenner, weil welches von den beiden soll ich denn jetzt als [mm] z_{0} [/mm] wählen, es bietet sich ja eben 1 und 3 an.
Ich mein einfach zu sagen, dass das Integral dann I= [mm] 2\pi i*f(1)*(f(3))^{2} [/mm] ist,sieht viel zu einfach aus und ist sicher auch falsch.
Also grob gesagt weiß ich eigentlich überhaupt nicht was ich jetzt genau machen muss und bei der b) bin ich auch nicht gerade schlauer, weil ich hier auch nicht weiß wie man das dann hier macht, wenn man noch eine weitere komplexe Zahl w im Integral stehen hat. Behandelt man die dann einfach als Konstante wie 1 oder 3 oben?
Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe!
Viele Grüße
Lati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
Zu a) Setze $f(z) = [mm] \bruch{e^z}{(z-3)^2}$ [/mm] . f ist holomorph z.B. auf der offenen Kreisscheibe um 1 mit Radius 2,5
Dann ist f(1) = ???
Zu b) Ist $|w|> 1$ , so kannst Du wie bei a) verfahren
Zum Fall $|w|<1$: hattet Ihr schon die Cauchyschen Integralformeln für Ableitungen oder gar den Residuensatz ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 08.12.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Fred,
erstmal vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Tipps:
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> Zu a) Setze [mm]f(z) = \bruch{e^z}{(z-3)^2}[/mm] . f ist holomorph
> z.B. auf der offenen Kreisscheibe um 1 mit Radius 2,5
Ok dass die Funktion holomorph ist als Verknüpfung holomorpher Funktionen ist klar, aber kannst du nochmal kurz erklären wie du auf die offenen Kreisscheibe um gerade 1 mit Radius 2,5 kommst?Ist das jetzt einfach von dir als Beispiel gedacht oder hat das was mit der Aufgabe zu tun?(was ich schwer vermute )
> Dann ist f(1) = ???
>
f(1) = e/4 oder?
Ok dann sind wir jetzt soweit, aber jetzt steh ich irgendwie immer noch auf dem Schlauch.Muss ich jetzt auch noch f(3) berechnen? Und dann [mm] 2\pi [/mm] i *f(1)*f(3) rechnen?
Ok zur b)
> Zu b) Ist [mm]|w|> 1[/mm] , so kannst Du wie bei a) verfahren
Warum muss ich hier eine Unterscheidung machen?Und warum kann ich dann gerade bei |w|> 1 wie oben verfahren?
> Zum Fall [mm]|w|<1[/mm]: hattet Ihr schon die Cauchyschen
> Integralformeln für Ableitungen oder gar den Residuensatz
> ?
Also den Residuensatz hatten wir auf keinen Fall, aber was du mit der Cauchyschen Integralfomel für Ableitungen meinst weiß ich nicht so genau, aber eigentlich dürften wir das auch nicht gemacht haben.Den genannten hatten wir als einzigen bisher denke ich.
Vielen Dank für deine weitere Hilfe!
Lati
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
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> erstmal vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> > Tipps:
> >
> > Zu a) Setze [mm]f(z) = \bruch{e^z}{(z-3)^2}[/mm] . f ist holomorph
> > z.B. auf der offenen Kreisscheibe um 1 mit Radius 2,5
>
> Ok dass die Funktion holomorph ist als Verknüpfung
> holomorpher Funktionen ist klar, aber kannst du nochmal
> kurz erklären wie du auf die offenen Kreisscheibe um
> gerade 1 mit Radius 2,5 kommst?Ist das jetzt einfach von
> dir als Beispiel gedacht oder hat das was mit der Aufgabe
> zu tun?(was ich schwer vermute)
Mal mal ein Bild des Integrationsweges ! Vielleicht hilft das. Eine offene Kreisscheibe um 1 mit Radius 2,9 tuts auch, eine mit Radius 3,1 tuts nicht
>
> > Dann ist f(1) = ???
> >
> f(1) = e/4 oder?
Das gesuchte Integral = $ 2 [mm] \pi [/mm] i f(1)$
>
> Ok dann sind wir jetzt soweit, aber jetzt steh ich
> irgendwie immer noch auf dem Schlauch.Muss ich jetzt auch
> noch f(3) berechnen? Und dann [mm]2\pi[/mm] i *f(1)*f(3) rechnen?
>
> Ok zur b)
> > Zu b) Ist [mm]|w|> 1[/mm] , so kannst Du wie bei a) verfahren
>
> Warum muss ich hier eine Unterscheidung machen?Und warum
> kann ich dann gerade bei |w|> 1 wie oben verfahren?
mal Dir ein Bild ! Dannsiehst Du es !
>
> > Zum Fall [mm]|w|<1[/mm]: hattet Ihr schon die Cauchyschen
> > Integralformeln für Ableitungen oder gar den Residuensatz
> > ?
> Also den Residuensatz hatten wir auf keinen Fall, aber was
> du mit der Cauchyschen Integralfomel für Ableitungen
> meinst weiß ich nicht so genau,
Dann habt Ihr es noch nicht gemacht
> aber eigentlich dürften
> wir das auch nicht gemacht haben.Den genannten hatten wir
> als einzigen bisher denke ich.
Dann muß ich über den Fall |w|<1 noch mal nachdenken
FRED
>
> Vielen Dank für deine weitere Hilfe!
>
> Lati
>
>
> > FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
nochmal danke für deine Hilfe!
> > Hi Fred,
> >
> > erstmal vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> >
> > > Tipps:
> > >
> > > Zu a) Setze [mm]f(z) = \bruch{e^z}{(z-3)^2}[/mm] . f ist holomorph
> > > z.B. auf der offenen Kreisscheibe um 1 mit Radius 2,5
> >
> > Ok dass die Funktion holomorph ist als Verknüpfung
> > holomorpher Funktionen ist klar, aber kannst du nochmal
> > kurz erklären wie du auf die offenen Kreisscheibe um
> > gerade 1 mit Radius 2,5 kommst?Ist das jetzt einfach von
> > dir als Beispiel gedacht oder hat das was mit der Aufgabe
> > zu tun?(was ich schwer vermute)
>
> Mal mal ein Bild des Integrationsweges ! Vielleicht hilft
> das. Eine offene Kreisscheibe um 1 mit Radius 2,9 tuts
> auch, eine mit Radius 3,1 tuts nicht
Ok das hab ich mal versucht, aber ehrlich gesagt scheint mir das nicht richtig gelungen zu sein, denn ich sehe das immer noch nicht.
Vielleicht gehe ich aber auch falsch vor. Ich hab jetzt zuerst mal die ganze Funktion innerhalb des Integrals betrachtet und erstmal die zu zeichnen versucht aber da kommen sehr wirre sachen raus. Sollte da was schönes rauskommen?
>
>
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> >
> > > Dann ist f(1) = ???
> > >
> > f(1) = e/4 oder?
>
> Das gesuchte Integral = [mm]2 \pi i f(1)[/mm]
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> >
> > Ok dann sind wir jetzt soweit, aber jetzt steh ich
> > irgendwie immer noch auf dem Schlauch.Muss ich jetzt auch
> > noch f(3) berechnen? Und dann [mm]2\pi[/mm] i *f(1)*f(3) rechnen?
> >
> > Ok zur b)
> > > Zu b) Ist [mm]|w|> 1[/mm] , so kannst Du wie bei a) verfahren
> >
> > Warum muss ich hier eine Unterscheidung machen?Und warum
> > kann ich dann gerade bei |w|> 1 wie oben verfahren?
>
>
> mal Dir ein Bild ! Dannsiehst Du es !
Ja hier hab ich dann natürlich das gleiche Problem!
Aber ich hab dann einfach trotzdem mal weiter gemacht und setze f(z) also 1/(z-w). Ist das ok?
dann berechne ich f(0)=-1/w
und erhalte für das Integral [mm] f(0)*2\pi*i [/mm] = [mm] -(2\pi [/mm] *i)/w
Stimmt das vielleicht?
> > > Zum Fall [mm]|w|<1[/mm]: hattet Ihr schon die Cauchyschen
> > > Integralformeln für Ableitungen oder gar den Residuensatz
> > > ?
> > Also den Residuensatz hatten wir auf keinen Fall, aber
> was
> > du mit der Cauchyschen Integralfomel für Ableitungen
> > meinst weiß ich nicht so genau,
>
> Dann habt Ihr es noch nicht gemacht
>
> > aber eigentlich dürften
> > wir das auch nicht gemacht haben.Den genannten hatten wir
> > als einzigen bisher denke ich.
>
>
> Dann muß ich über den Fall |w|<1 noch mal nachdenken
>
Ist dir hierzu noch was eingefallen?
Vielen Dank für deine Geduld!
Grüße
Lati
> FRED
> >
> > Vielen Dank für deine weitere Hilfe!
> >
> > Lati
> >
> >
> > > FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 11.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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