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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 24.01.2010 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Berechne das komplexe Integral
z = a + i b
[mm] \integral_{5 - 5 i}^{5 + 5 i}{\bruch{1}{z^5} dz}
[/mm]
durch die Stammfunktion und durch Integration längs der positiv orientierten Kreislinie um den Nullpunkt, welche die beiden Grenzen verbindet |
Hallo!
es handelt sich um eine Integration im Komplexen.
So recht weiß ich nicht wie ich hier vorgehen muss.
f: [a,b] -> [mm] \IC, [/mm] z = f(t) = x(t) + i y(t), t [mm] \in [/mm] [a,b]
Die Funktion f muss stetig bzw differenzierbar sein <=> x,y stet db
Aus meinem Vorlesungsskriptum weiß ich folgendes:
f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y)
g(t) = x(t) + i y(t)
f(z) dz = (u + iv) (dx + idy)
was sind die beiden Funktionen u und v ? (leider hatte ich noch nie was mit komplexer Integration zu tun)
=> [mm] \integral_{g}^{}{f(z) dz} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(t)) * g'(t) dt}
[/mm]
So ganz weiß ich mir hier nicht zu helfen - wie geht man hier vor?
Beim zweiten Punkt der Aufgabe kann ich mir nicht so recht was vorstellen - Was ist hiermit gemeint und wie kann man sich das vorstellen?
Vielen Dank für jeden Tipp!
lg
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Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil ist überflüssig.
Lies die Aufgabe genau durch. Du sollst sie nämlich zweimal lösen.
1. Die Formulierung der Aufgabe läßt darauf schließen, daß ihr in der Vorlesung durchgenommen habt, wie man ein solches Integral löst, wenn man eine Stammfunktion kennt (Stichworte: Exaktheit, Wegunabhängigkeit). Sieh im Skript nach. Im übrigen: Es geht ganz wie im Reellen auch.
2. Bei der zweiten Lösung sollst du keine Stammfunktion verwenden, sondern das Kurvenintegral mit einer Parametrisierung des Kreisbogens lösen (das ist deine letzte Formel). Jetzt mußt du dir nur noch zurechtlegen, wie man den Kreisbogen von [mm]5 - 5 \operatorname{i}[/mm] nach [mm]5 + 5 \operatorname{i}[/mm] parametrisieren kann. Und da gilt zunächst: Eine Skizze sagt mehr als tausend Wort. Stelle die Situation maßstabsgetreu dar.
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Hallo!
ich weiß nun gemäß vorlesung, dass [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] holomorph ist - also stetig, außer im Punkt 0.
Damit kann ich ein Gebiet D bilden.
ad a)
Hier kann ich nun ganz normal, wie im reellen integrieren, da f(z) holomorph ist und ich ein zusammenhängendes Gebiet D habe.
[mm] integral_{1-5i}^{1+5i}{f(z) dx} [/mm] = [mm] -\bruch{15}{28561}i
[/mm]
ad b)
ich sehe laut skizze dass es sich um einen kreis handelt
mit radius
|z| = [mm] \wurzel{a^2 + b^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + 25} [/mm] = [mm] \wurzel{26}
[/mm]
parametrisierung mit polarkoordinaten:
x(t) = r * cos(t)
y(t) = r * sin(t)
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] -> das ist im reellen so
hier habe ich aber igendwie probleme mit dem i
würde es nicht auch so funktionieren indem ich sage:
g(t) = r * [mm] e^{it} [/mm] für arctan(b/a) [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] arctan(b/a)
und dann mit der formel über den winkel integriere?
lg
[mm] \integral_{C}^{}{f(z) dz} [/mm] = [mm] \integral_{C}^{}{f(g(x)) g'(x) dx}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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