Komplexe Matrix und Eigenwerte < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für eine quadratische Matrix A [mm] \in \IC^{n \times n} [/mm] sind alle Eigenwerte von A*A reell und nicht-negativ.
A* meint hier die transponiert-konjugierte Matrix A. |
Guten Abend!
Ich soll obige Aussage nachweisen. Bisher habe ich noch keinen Ansatz für meine Rechnung. Ich habe bisher schon zwei Rechnungen mit beispielhaften Matrizen durchgeführt, um mir alles zu veranschaulichen - der richtige Gedanke ist mir dabei jedoch noch nicht gekommen.
Wo sollte ich am Besten starten?
Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
Schönen Abend und Beste Grüße
mathe_thommy
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 06.06.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Für eine quadratische Matrix A [mm]\in \IC^{n \times n}[/mm] sind
> alle Eigenwerte von A*A reell und nicht-negativ.
> A* meint hier die transponiert-konjugierte Matrix A.
> Guten Abend!
Huhu,
>
> Ich soll obige Aussage nachweisen. Bisher habe ich noch
> keinen Ansatz für meine Rechnung. Ich habe bisher schon
> zwei Rechnungen mit beispielhaften Matrizen durchgeführt,
> um mir alles zu veranschaulichen - der richtige Gedanke ist
> mir dabei jedoch noch nicht gekommen.
> Wo sollte ich am Besten starten?
> Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
>
> Schönen Abend und Beste Grüße
> mathe_thommy
duerft ihr benutzen, dass wenn [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert zur Matrix $A$ ist, dass [mm] $\bar{\lambda}$ [/mm] (konjugiert komplex) Eigenwert zu $A$* ist!?
Wenn, ist das ziemlich einfach. Schreibe doch einfach mal hin
[mm] $A$*$Av=A$*$\lambda [/mm] v=....$,
wobei $v$ Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
Wenn nicht, laesst sich auch ziemlich einfach zeigen :)
Gruss,
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:07 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{\star}A [/mm] und x ein zugeh. Eigenvektor, den wir als normiert annehmen können.
Dann:
[mm] $\lambda= \lambda*||x||^2= \lambda(x|x)=( \lambda [/mm] x|x)=( [mm] A^{\star}Ax|x)=(Ax|Ax)=||Ax||^2$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Chris und Fred!
Vielen Dank für Eure beiden zeitnahen Antworten!
Ich habe noch eine Nachfrage an Fred: Wie erkenne ich an deiner Rechnung, dass die Matrix A nur reelle Einträge enthält? Dass sie nicht mehr negativ sind wird mir klar, die zweite Forderung jedoch nicht. An welcher Stelle ist das in deiner Rechnug ersichtlich?
Beste Grüße
Mathe_Thommy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Chris und Fred!
>
> Vielen Dank für Eure beiden zeitnahen Antworten!
>
> Ich habe noch eine Nachfrage an Fred: Wie erkenne ich an
> deiner Rechnung, dass die Matrix A nur reelle Einträge
> enthält?
Hä ? Wie kommst Du auf diese Frage ??? Es war doch $A [mm] \in \IC^{n \times n} [/mm] $ , also hat A Einträge aus [mm] \IC.
[/mm]
> Dass sie nicht mehr negativ sind wird mir klar,
> die zweite Forderung jedoch nicht.
Was ist los ? ?
> An welcher Stelle ist
> das in deiner Rechnug ersichtlich?
An keiner !
Die Aufgabe lautet: sei $A [mm] \in \IC^{n \times n} [/mm] $ und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A*A. Zeige
[mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] \lambda \ge [/mm] 0.
FRED
>
> Beste Grüße
> Mathe_Thommy
|
|
|
| |
|
Entschuldige bitte! Ich meine statt der "Einträge" die "Eigenwerte". An welcher Stelle erkenne ich, dass alle Eigenwerte nicht-negativ sind. Mir ist bisher nur klar, dass sie alle reell sind.
Beste Grüße
mathe_thommy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldige bitte! Ich meine statt der "Einträge" die
> "Eigenwerte". An welcher Stelle erkenne ich, dass alle
> Eigenwerte nicht-negativ sind. Mir ist bisher nur klar,
> dass sie alle reell sind.
$ [mm] \lambda= \lambda\cdot{}||x||^2= \lambda(x|x)=( \lambda [/mm] x|x)=( [mm] A^{\star}Ax|x)=(Ax|Ax)=||Ax||^2 \ge [/mm] 0 $
FRED
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
|
|
|
| |
|
Ich habe jetzt noch einmal nachgeschlagen und so auch deinen Weg verstanden, Fred.
Besten Dank!
|
|
|
|
