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| Aufgabe | Berechnen sie die PBZ über [mm] \IC [/mm] von der rationalen Funktion f definiert durch
[mm]f(x)={2\over{x^2+2x+2}}[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich bin mir nicht ganz im klaren wie ich eine komplexe PBZ angehen soll und der Papula hilft mir in diesem Fall auch nicht wirklich weiter... Versucht habe ich es so:
Nullstellen des Nenners: [mm]x_{1,2}=1\pm \wurzel{1^2-2}=1\pm j[/mm]
Daraus habe ich dann [mm]{A \over {x-1+j}}+{B \over {x-1-j}}[/mm] aufgestellt und kam zu dem Widerspruch: [mm]A=-B \wedge A=B[/mm].
Wie geht das denn richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo froopkind!
Du hast einen Vorzeichenfehler in den beiden Nullstellen. Es muss heißen:
[mm] $$x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}1\pm [/mm] j$$
Gruß
Loddar
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Danke für den Tipp, aber ich komme nicht auf die Lösung.
Komme immer noch auf den selben Widerspruch. Stimmt denn der Ansatz? Oder muss man das bei Komplexen Nullstellen anders machen?
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Hallo Simon,
ich komme da auf keinen Widerspruch:
[mm] $\frac{2}{x^2+2x+2}=\frac{2}{(x+1+i)\cdot{}(x+1-i)}=\frac{A}{x+1+i}+\frac{B}{x+1-i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] Ax+A-Ai+Bx+B+Bi=2$
[mm] $\Rightarrow x(A+B)=0\wedge [/mm] (A-Ai+B+Bi)=2$
[mm] $\Rightarrow [/mm] A=-B [mm] \wedge [/mm] A(1-i)+B(1+i)=A(1-i)-A(1+i)=-2Ai=2$
[mm] $\Rightarrow [/mm] A=-B [mm] \wedge A=-\frac{1}{i}=-\frac{-i}{i(-i)}=-(-i)=i$
[/mm]
Also $A=i, B=-i$
Gruß
schachuzipus
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