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Hallo
Ersteinmal vielen Dank für eure hHilfe.
Nun ein neues Problem: Zeigen Sie mittels komplexer Rechnung, dass sich drei um 120 Grad verschobene Wechselspannungen auslöschen.
Komplexe Rechnung ist ein Buch mit sieben Siegel.
Bis bald
Marcus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Markus,
die Frage, von der man hier ausgehen soll, ist, wie lässt sich eine Spannung, die durch
u [mm] \cdot \cos(\omega [/mm] t + [mm] \phi) [/mm] beschrieben wird, im Komplexen beschreiben. Ich weiss nicht, wie weit Du mit der komplexen Rechnung vertraut bist, deswegen gebe ich hier einfach mal eine Gleichung an mit der man weiterrechnen kann, ohne sie jedoch herzuleiten:
u [mm] \cdot \cos(\omega [/mm] t + [mm] \phi) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] u [mm] \cdot (e^{j(\omega t + \phi)} [/mm] + [mm] e^{-j(\omega t + \phi)})
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist hierbei der Phasenbetrag, um den die Spannung gegenüber einer cosinusförmigen Spannung verschoben ist. Wenn man nun drei Spannungen hat, die jeweils um 120 Grad oder [mm] \bruch{2 \pi}{3} [/mm] gegeneinander verschoben sind, so gilt für die Summe aus diesen Spannungen
[mm] \bruch{u}{2} \cdot (e^{j\omega t } [/mm] + [mm] e^{j(\omega t + \bruch{2 \pi}{3}) } [/mm] + [mm] e^{j(\omega t + \bruch{4 \pi}{3})} [/mm] )
+ [mm] \bruch{u}{2} \cdot (e^{-j\omega t } [/mm] + [mm] e^{-j(\omega t + \bruch{2 \pi}{3}) } [/mm] + [mm] e^{-j(\omega t + \bruch{4 \pi}{3})} [/mm] )
Aus dem oberen Teil der Gleichung lässt sich [mm] e^{j\omega t} [/mm] ausklammern, aus dem unteren Teil [mm] e^{-j\omega t}. [/mm] Diese Anteile der Summenspannung sind, wie man am t sieht, zeitabhängig. Demzufolge muss, damit die Summe aus den drei Spannungen zu jedem Zeitpunkt sich zu Null ergibt, der Ausdruck in der folgenden Klammer 0 sein:
(1 + [mm] e^{j \bruch{2 \pi}{3}} [/mm] + [mm] e^{j \bruch{4 \pi}{3}})
[/mm]
Dies ist richtig für die obere Zeile des großen Ausdrucks, für den zweiten Teil, der die Terme mit [mm] e^{-j\omega t} [/mm] enthält, enthalten die Argumente der e-Funktionen negative Winkel.
Wenn Du nun den Ausdruck von oben mit der 1 und den beiden e-Funktionen auswertest, wirst Du sehen, dass sich dieser Ausdruck zu Null ergibt.
Hierzu muss man nur noch wissen, dass
[mm] e^{j \phi} [/mm] = [mm] \cos \phi [/mm] + j [mm] \sin \phi [/mm] ist. Die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion für 120 und 240 Grad kannst Du leicht in Tabellen nachschlagen, falls Du sie nicht auswendig weisst.
Ja, und damit ist der Beweis im Komplexen fertig.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Do 15.09.2005 | | Autor: | Marcusgoe |
Hallo Infinit
Vielen Dank für die Antwort.
Bis bald Marcus
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