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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:37 Mo 13.03.2006 | | Autor: | crack |
| Aufgabe | In einer Reihe befinden sich 35 Gegenstände, 5 Gegenstände sind von Typ A, 3 Gegenstände vom Typ B, der Rest sind andere verschiedene Gegenstände.
Wieviele verschiedene Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn man weiss, dass immer die 5 Typ A und die 3 Typ B Gegenstände hintereinander kommen, aber nie direkt aufeinanderfolgen (also nie 5As und dann 3Bs, sondern immer mind. 1 anderer Gegenstand dazwischen ist) |
Bin schon auf Lösungsvorschläge gespannt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:26 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Fugre |
| Aufgabe | In einer Reihe befinden sich 35 Gegenstände, 5 Gegenstände sind von Typ A, 3 Gegenstände vom Typ B, der Rest sind andere verschiedene Gegenstände.
Wieviele verschiedene Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn man weiss, dass immer die 5 Typ A und die 3 Typ B Gegenstände hintereinander kommen, aber nie direkt aufeinanderfolgen (also nie 5As und dann 3Bs, sondern immer mind. 1 anderer Gegenstand dazwischen ist) |
Hallo Crack,
ich möchte es mal versuchen. Ich möchte die ganze Reihe zunächst einmal aufsplitten, sprich ich möchte überlegen, wie
viele Anordnungsmöglichkeiten es innerhalb der Gruppen $A$ und $B$ gibt, da ich davon ausgehe, dass die Elemente
sich unterscheiden.
Für die Gruppe $A$ mit $5$ Elementen gibt es $5!=120$ mögliche Anordnungen, bei $B$ mit $3$ lediglich $3!=6$.
Nun kann ich die Gruppen in gewisser Weise als Elemente betrachten, meine Reihe hat dadurch nur noch $29$ Elemente.
Es gibt folglich $29!$ Anordnungsmöglichkeiten, wenn ich die besonderen Regeln nicht beachte, sowie die Möglichkeiten
innerhalb der Gruppen ausklammer. Wenn ich die Möglichkeiten innerhalb der Gruppen einbaue, so erhalte ich als
Gesamtzahl der möglichen Anordnungen ohne Beachtung der besonderen Regeln:
[mm] $N=120*6*29!\approx 6,366068635*10^{33}$
[/mm]
Es sind weiterhin nur Möglichkeiten zugelassen, bei den gilt:
[mm] $n_1...A...n_2...B...n_3$ [/mm] mit [mm] $n_1+n_2+n_3=27$ [/mm] und [mm] $n_2 \not [/mm] = 0$ genau wie die umgekehrte Reihenfolge
Wahrscheinlich ist es einfacher, die nicht erlaubten Reihenfolgen zu untersuchen, ihre Reihenfolgen sind:
[mm] $n_1...A...B...n_2$ [/mm] sowie [mm] $n_1...B...A...n_2$ [/mm] mit [mm] $n_1+n_2=27 \to n_2=27-n_1$
[/mm]
Die mittlere Gleichung führt zu einer Verdopplung der Möglichkeiten der ersten Gleichung, es
folgt für die Anzahl der nicht erlaubten Reihenfolgen:
[mm] $M=2*(0!*5!*3!*27!+1!*5!*3!*26!...)=2*\summe_{n_1=0}^{27} n_1!*5!*3!*(27-n_1)!\approx 2*1,631191813*10^{31}$
[/mm]
Die Anzahl $Y$ der erlaubten Möglichkeiten ist demnach die Differenz aller Möglichkeiten $N$ und den
verbotenen Möglichkeiten $M$.
[mm] $Y=N-M=120*6*29!-2*\summe_{n_1=0}^{27} n_1!*5!*3!*(27-n_1)!=6,333444799*10^{33}$
[/mm]
Mir erscheint diese Zahl zwar unerwartet groß und vielleicht wirst du mich auch auf einen fundamentalen
Fehler hinweisen, aber im Moment halte ich es für realistisch.
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 17:17 Di 14.03.2006 | | Autor: | Xnyzer |
Ui.. ich sehe gerade das is ne Aufgabe für die Oberstufe? Hoffe, mein Ergebnis ist trotzdem richtig.
Also ich glaube es gib 357 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten.
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Soll diese Aufgabe jetzt nicht beantwortet werden, oder wie kann ich "Aktuelle Übungsaufgabe" von Bastiane interpretieren?
Falls sie beantwortet werden soll, habe ich zwei Nachfragen:
1. Sind alle Gegenstände unterscheidbar?
2. ist eine Kombination mit "A1 A2 C1 B1 ..." erlaubt (wenn A1 der erste Gegenstand vom Typ A ist etc., oder wäre nur "A1 C2 A2 C1 B1 ..." erlaubt? Soll also zwischen Typ A-Objekten auch mind. ein anderer Gegenstand sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Do 16.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo crack,
nach Rücksprache mit Daniel habe ich deine Frage auf "Für Interessierte" gesetzt, zumal du nicht mehr auf die beiden Lösungsvorschläge reagiert hast und die von dir vorgegebene Fälligkeit mittlerweile längst abgelaufen ist.
Falls du dieses Problem weiter besprechen möchtest, dann stell' einfach eine neue Frage!
Viele Grüße
Astrid
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