Komplexe Wegintegrale < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne [mm] \integral_{\gamma}\overline{z}dz [/mm]
und zwar entlang der Geraden von 0 bis 1+i und entlang der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] von 0 bis 1+i |
Hallo,
Also vorerst benötige ich das wichtige Resultat
[mm] $\integral_{\gamma}f(z)dz [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma^{'}(t)dt [/mm] $
Entlang der Strecke von 0 bis 1+i fällt mir die Parametrisierung nicht sonderlich schwer :
Zwischen zwei Punkten x und y kann man die Strecke mittels
[mm] \gamma(t) [/mm] = x+t(y-x) , mit t [mm] \in [/mm] [0,1] parametrisieren, also:
[mm] $\gamma [/mm] :[0,1] [mm] \to \mathbb{C}$ [/mm] wobei [mm] $\gamma(t) [/mm] = t(1+i) $
Und damit [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] t(1-i)(1+i)dt = 1.
Zu Teil II :
Kann ich hier auch als Parametrisierung zb einfach
[mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] t^2(i+1)$ [/mm] mit t [mm] \in [/mm] [0,1] wählen ? immerhin erfüllt es [mm] $\gamma(0) [/mm] = 0 $ und [mm] $\gamma(1) [/mm] = i+1$.
Wie parametrisiere ich allerdings ganz allgemeine Kurven? Also ich Möchte zb entlang der Kurve [mm] $y=exp(x)+x^3$ [/mm] integrieren?
Lg und Danke
Peter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Di 06.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechne [mm]\integral_{\gamma}\overline{z}dz[/mm]
>
> und zwar entlang der Geraden von 0 bis 1+i und entlang der
> Parabel [mm]y=x^2[/mm] von 0 bis 1+i
> Hallo,
>
> Also vorerst benötige ich das wichtige Resultat
>
> [mm]\integral_{\gamma}f(z)dz = \integral_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma^{'}(t)dt [/mm]
Das ist kein "Resultat" sondern eine Definition.
>
> Entlang der Strecke von 0 bis 1+i fällt mir die
> Parametrisierung nicht sonderlich schwer :
>
> Zwischen zwei Punkten x und y kann man die Strecke mittels
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = x+t(y-x) , mit t [mm]\in[/mm] [0,1] parametrisieren,
> also:
>
> [mm]\gamma :[0,1] \to \mathbb{C}[/mm] wobei [mm]\gamma(t) = t(1+i)[/mm]
>
> Und damit [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] t(1-i)(1+i)dt = 1.
O.K.
>
>
> Zu Teil II :
>
> Kann ich hier auch als Parametrisierung zb einfach
>
> [mm]\gamma(t) = t^2(i+1)[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [0,1] wählen ?
Nein ! Die Bildmenge dieser Funktion [mm] \gamma [/mm] ist wieder die Verbindungsstrecke von 0 und 1+i.
> immerhin
> erfüllt es [mm]\gamma(0) = 0[/mm] und [mm]\gamma(1) = i+1[/mm].
Das ist aber auch schon alles.
>
>
> Wie parametrisiere ich allerdings ganz allgemeine Kurven?
> Also ich Möchte zb entlang der Kurve [mm]y=exp(x)+x^3[/mm]
Allgemein: gegeben ein Intervall I in [mm] \IR [/mm] und eine Funktion g:I [mm] \to \IR.
[/mm]
Dann ist der Graph von g gegeben durch
[mm] G_g= \{(t,g(t)): t \in I\},
[/mm]
oder, wenn man [mm] G_g [/mm] als Teilmenge von [mm] \IC [/mm] auffasst:
[mm] G_g=\{t+ig(t): t \in I\}.
[/mm]
Eine Parametrisierung von [mm] G_g [/mm] wäre dann
[mm] \gamma(t)=t+ig(t), [/mm] t [mm] \in [/mm] I.
FRED
> integrieren?
>
>
> Lg und Danke
>
>
> Peter
|
|
|
| |
|
Ah , also wäre dann meine Parametrisierung
[mm] $\gamma(t) [/mm] = t(1+it) , t [mm] \in [/mm] [0,1]$?
Lg Peter
|
|
|
| |
|
Ja, richtig.
Allgemein kannst du so vorgehen, dass du das Ganze erst mal im "normalen" Koordinatensystem betrachtest, also [mm] y=x^2.
[/mm]
Jetzt parametrisierst du x mit t so einfach wie möglich, hier also x=t. Dann ist aber wegen [mm] y=x^2 [/mm] nun [mm] y=t^2.
[/mm]
Jetzt steigst du in die komplexe Ebene um, indem du aus dem Punkt (x|y) den Wert z=x+iy machst, hier also
[mm] z=t+it^2.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Da fällt mir noch was ein - angenommen ich möchte nun zb von 1 bis i entlang des Kreises [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 integrieren.
Dann parametrisiere ich einfach
[mm] $\gamma(t) [/mm] = exp(i [mm] \cdot \alpha) [/mm] , [mm] \alpha \in [/mm] [0, [mm] \pi [/mm] / 2] $
richtig ?
LG Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Di 06.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Da fällt mir noch was ein - angenommen ich möchte nun zb
> von 1 bis i entlang des Kreises [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1 integrieren.
>
> Dann parametrisiere ich einfach
>
> [mm]\gamma(t) = exp(i \cdot \alpha) , \alpha \in [0, \pi / 2][/mm]
>
> richtig ?
Ja
Fred
>
>
> LG Peter
|
|
|
| |
|
In diesem Fall ist dann [mm] \overline{z}=e^{-i\alpha} [/mm] und [mm] dz=ie^{i\alpha}d\alpha, [/mm] also [mm] \overline{z}dz=id\alpha [/mm] und das Integral damit [mm] i\pi.
[/mm]
Würdest du jetzt stattdessen über die x-Achse von 1 zu -1 wandern, wäre z=x und ebenfalls [mm] \overline{z}=x [/mm] sowie dz=dx,
somit [mm] \overline{z}dz=xdx. [/mm] das Integral gäbe dann
[mm] 1/2*x^2 [/mm] in den Grenzen von 1 bis -1 und somit 0.
An diesem Beispiel siehst du, dass das Integral wegabhängig ist.
|
|
|
| |
|
Hallo ,
Sollte nicht Pi/2 *i rauskommen ?
Vielleicht habe ich mich einfach verrechnet :)
Lg Peter
|
|
|
| |
|
Sorry, ich habe geschlafen!
Du hast Recht. Du wolltest ja von 1 zu i wandern, dann kommt natürlich [mm] i/2*\pi [/mm] raus.
Ich habe an den Halbkreis von 1 zu -1 gedacht, und der Vergleich mit der zweiten Rechnung bezieht sich auch darauf, sonst könnte man gar nicht nur entlang der x-Achse wandern.
|
|
|
|
