Komplexe Zahl vereinfachen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 So 17.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
ich habe folgenden Ausdruck den ich gerne vereinfachen möchte:
[mm] z=\wurzel{-15+20i}
[/mm]
dabei habe ich zunächst folgende Gedanken gemacht
[mm] z=\wurzel{-15+20i}=\wurzel{-15i^2+20i}
[/mm]
dann dachte ich
[mm] \wurzel{15i^2}=\wurzel{15}i
[/mm]
und
[mm] \wurzel{20i}= \wurzel{10}+\wurzel{10i}
[/mm]
was insgesammt dann ja folgendes wird.
[mm] z=\wurzel{10}+\wurzel{10i}+\wurzel{15}i
[/mm]
Google und Wolframalpha sagen aber das folgendes raus kommt:
2,23606798 + 4,47213595 i
ich verstehe nicht so recht was ich falsch gemacht habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> ich habe folgenden Ausdruck den ich gerne vereinfachen
> möchte:
> [mm]z=\wurzel{-15+20i}[/mm]
>
> dabei habe ich zunächst folgende Gedanken gemacht
>
> [mm]z=\wurzel{-15+20i}=\wurzel{-15i^2+20i}[/mm]
Wie kommst du denn darauf?
> dann dachte ich
> [mm]\wurzel{15i^2}=\wurzel{15}i[/mm]
> und
> [mm]\wurzel{20i}= \wurzel{10}+\wurzel{10i}[/mm]
>
> was insgesammt dann ja folgendes wird.
> [mm]z=\wurzel{10}+\wurzel{10i}+\wurzel{15}i[/mm]
Du hast doch nicht etwa [mm] \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} [/mm] verwendet? Das ist nämlich falsch.
>
> Google und Wolframalpha sagen aber das folgendes raus
> kommt:
> 2,23606798 + 4,47213595 i
>
> ich verstehe nicht so recht was ich falsch gemacht habe.
Du hast diverse nicht erlaubte Umformungen gemacht.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 17.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Oha ich sehe schon.
Welche Umformungen darf ich den hier benutzen?
bzw. wie kann ich hier umformen?
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Hallo Coxy,
[mm] \wurzel{-15+20i}=\wurzel{5}*\wurzel{-3+4i}
[/mm]
So, erstmal ausgeklammert...
Den Faktor [mm] \wurzel{5} [/mm] lasse ich erstmal weg, aber natürlich darf er nachher nicht vergessen werden.
Jetzt ist zwar der einfachste Weg der über die Polarform, aber es geht auch so.
Du suchst eine komplexe Zahl $z$, für die gilt:
[mm] z^2=-3+4i, [/mm] und wir nehmen allgemein an: $z=a+bi$
[mm] \Rightarrow z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=-3+4i
[/mm]
Jetzt Real- und Imaginärteil separat vergleichen.
Mach doch mal. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 17.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Vielen Dank :)
so einen Anstoß habe ich gebraucht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 So 17.11.2013 | | Autor: | Coxy |
das führt doch zu
[mm] a^2-b^2=\wurzel(-3)
[/mm]
[mm] a^2-b^2=\wurzel(3)i
[/mm]
[mm] a^2=\wurzel(3)i+b^2
[/mm]
[mm] a=\wurzel(\wurzel(3)i+b^2)
[/mm]
was ja schon mal ein schrecklicher Term ist.
ich bekomme ihn auch nicht aufgelöst
wenn ich ihn in
[mm] 2abi=\wurzel(4i)
[/mm]
einsetze.
Irgendwie werde ich langsam ratlos :(
Außerdem habe ich folgendes gelesen:
Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allgemeinen
nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform
gegeben ist.
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 So 17.11.2013 | | Autor: | Ebri |
reverend:"[...]
$ [mm] z^2=-3+4i, [/mm] $ und wir nehmen allgemein an: $ z=a+bi $
$ [mm] \Rightarrow z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=-3+4i [/mm] $
Jetzt Real- und Imaginärteil separat vergleichen. [...]"
Überlege dir hier was [mm] $a^2-b^2$ [/mm] und $2abi$ jeweils ergeben müssen, damit $-3+4i$
raus kommt. Mit der Information lassen sich a und b berechnen.
Gruß
Ebri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Ja genau stecke ich doch fest.
Siehe meine vorherige Frage
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Hallo coxy,
es ergeben sich aus [mm] a^2-b^2+2abi=-3+4i [/mm] doch folgende zwei Gleichungen:
aus Re: (1) [mm] a^2-b^2=-3
[/mm]
aus Im: (2) 2ab=4
aus (2) gewinnen wir [mm] b=\bruch{2}{a}; a\ne{0} [/mm] vorausgesetzt - das kann man hier auch leicht ausschließen...
in (1) eingesetzt: [mm] a^2-\bruch{4}{a^2}=-3\;\;\gdw\;\; a^4+3a^2-4=0
[/mm]
Substituieren wir [mm] t=a^2, [/mm] haben wir eine gewöhnliche quadratische Gleichung:
[mm] t^2+3t-4=0; [/mm] mit den Lösungen [mm] t_1=1,\;\;t_2=-4
[/mm]
Jetzt rücksubstituieren, die 4 möglichen a finden, dazu die entsprechenden b's. Dann Probe - bei all den Quadraten schleichen sich leicht falsche Lösungen ein. Die beiden richtigen sind aber auch sicher dabei.
So, jetzt Du.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Vielen Dank :)
Auf die Substitution bin ich nicht gekommen ...
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