Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Polynome p der Form [mm] p(z)=z^3+az^2+bz+c [/mm] für die gilt a,b,c [mm] \in \mathbb{R}, [/mm] $p(1)=0$ und $p(1+i)=0$. |
Hallo Leute,
ich habe versucht diese Aufgabe mit einem Art Koeffizientenvergleich zu lösen, aber ich bin mir nicht sicher, ob das richtig sein könnte.
$p(1)=0$
$1+a+b+c=0$
$a+b+c=-1$
[mm] $p(1+i)=(i+1)^3+a(1+i)^2+b(1+i)+c$
[/mm]
$=(1+2i-1)(1+i)+a(1+2i-1)+b+bi+c$
Darf ich das dieser Stelle überhaupt das 1-1 streichen? Die Subtraktion ist ja nicht kommut
ativ, aber ich kann ja die Addition sozusagen ranhängen oder ?
$=(2i)(1+i)+a(2i)+b+bi+c$
$=2i-2+a+2ai+-a+b+bi+c$
$=-2+b+c+i(2+2a+b)$
$p(1+i)=0$
$-2+b+c+i(2+2a+b)=0$
=> $-2+b+c=0$ und $2+2a+b=0$
Gleichungssystem aufstellen:
$a+b+c=-1$
$ b+c=2$
$2a+b =-2$
$I-II$ => $a=-3$
Einsetzen in III
$2(-3)+b=-2$
$-6+b=-2$
$b=4$
Einsetzen in II
$b+c=2$
$c=-4$
[mm] $p(z)=z^3-3z^2+4z-4$
[/mm]
Liegt hier irgendwo ein Fehler vor (ich vermute es nämlich) und gibt es vielleicht sonst eine bessere Möglichkeit zur Lösung?
Vielen Dank im Voraus!
Beste Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Sa 18.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle Polynome p der Form [mm]p(z)=z^3+az^2+bz+c[/mm]
> für die gilt a,b,c [mm]\in \mathbb{R},[/mm] [mm]p(1)=0[/mm] und [mm]p(1+i)=0[/mm].
> Hallo Leute,
> ich habe versucht diese Aufgabe mit einem Art
> Koeffizientenvergleich zu lösen, aber ich bin mir nicht
> sicher, ob das richtig sein könnte.
>
> [mm]p(1)=0[/mm]
> [mm]1+a+b+c=0[/mm]
> [mm]a+b+c=-1[/mm]
>
> [mm]p(1+i)=(i+1)^3+a(1+i)^2+b(1+i)+c[/mm]
> [mm]=(1+2i-1)(1+i)+a(1+2i-1)+b+bi+c[/mm]
>
> Darf ich das dieser Stelle überhaupt das 1-1 streichen?
Hallo,
1-1 IST nun mal Null.
> Die Subtraktion ist ja nicht kommut
> ativ, aber ich kann ja die Addition sozusagen ranhängen
> oder ?
Wenn du so willst, gibt es die Operation "Subtraktion" gar nicht. Es ist einfach nur die Addition der entgegengesetzten Zahl:
1+2i-1=(1)+(2i)+(-1)
(und diese Summanden kannst du tauschen wie du willst).
> [mm]=(2i)(1+i)+a(2i)+b+bi+c[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=2i-2+a+2ai+-a+b+bi+c[/mm]
Es war nicht nötig, pötzlich wieder +a und -a reinzuholen.
> [mm]=-2+b+c+i(2+2a+b)[/mm]
>
> [mm]p(1+i)=0[/mm]
> [mm]-2+b+c+i(2+2a+b)=0[/mm]
> => [mm]-2+b+c=0[/mm] und [mm]2+2a+b=0[/mm]
>
> Gleichungssystem aufstellen:
> [mm]a+b+c=-1[/mm]
> [mm]b+c=2[/mm]
> [mm]2a+b =-2[/mm]
>
> [mm]I-II[/mm] => [mm]a=-3[/mm]
>
> Einsetzen in III
>
> [mm]2(-3)+b=-2[/mm]
> [mm]-6+b=-2[/mm]
> [mm]b=4[/mm]
>
> Einsetzen in II
>
> [mm]b+c=2[/mm]
> [mm]c=-4[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn b=4 gilt, muss c aber -2 sein.
>
>
> [mm]p(z)=z^3-3z^2+4z-4[/mm]
>
>
> Liegt hier irgendwo ein Fehler vor (ich vermute es
> nämlich) und gibt es vielleicht sonst eine bessere
> Möglichkeit zur Lösung?
Na ja, du könntest auch einen umgekehrten Weg versuchen.
Dein Polynom dritten Grades hat die Nullstellen 0, 1+i und noch eine dritte unbekannte komplexe Nullstelle (nennen wir sie "k").
Dann muss dein Polynom [mm]p(z)=z^3+az^2+bz+c[/mm]
aus den Linearfaktoren (z-1), (z-(1+i)) und (z-k) bestehen. Es wäre also auch der Ansatz [mm]z^3+az^2+bz+c=(z-1)*(z-(1+i)) *(z-k)[/mm]
möglich.
Nach dem Ausmultiplizieren der rechten Seite ist dann ebenfalls ein Koeffi-Vergleich mit ähnlichen Aufwand fällig.
Aber wenn du deinen Fehler bei c=... korrigiert hast, bist du doch schon fertig.
Gruß Abakus
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Beste Grüße
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Antwort ! Mich interessiert auch die zweite Lösungsvariante sehr. Ich habe also eine Linearfaktordarstellung meiner Nullstellen, aber wie komme ich denn zu der letzten, wenn ich das Polynom habe und multipliziere:
$(z-1)(z-(1+i))(z-k) $
$(z-1)(z-1-i))(z-k) $
[mm] $(z^2-z-iz-z+1+i)(z-k)
[/mm]
[mm] $((z^3-z^2-iz^2-z^2+z+iz)-(kz^2-kz-kiz-kz+k+ki))
[/mm]
Wie geht es dann weiter? :-(
Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
Hallo mtr-studi,
> Vielen Dank für deine Antwort ! Mich interessiert auch die
> zweite Lösungsvariante sehr. Ich habe also eine
> Linearfaktordarstellung meiner Nullstellen, aber wie komme
> ich denn zu der letzten, wenn ich das Polynom habe und
> multipliziere:
>
> [mm](z-1)(z-(1+i))(z-k)[/mm]
> [mm](z-1)(z-1-i))(z-k)[/mm]
> [mm]$(z^2-z-iz-z+1+i)(z-k)[/mm]
> [mm]$((z^3-z^2-iz^2-z^2+z+iz)-(kz^2-kz-kiz-kz+k+ki))[/mm]
>
>
> Wie geht es dann weiter? :-(
>
Nutze die Information, daß alle Koeffizienten
des gesuchten Polynoms reell sind.
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich komme leider nicht darauf, wie mir das weiterhilft. :-(
Kannst du mir noch einen Tipp geben?
Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Sa 18.01.2014 | | Autor: | phychem |
Reelle Polynome haben die Eigenschaft, dass nicht-reelle Nullstellen immer paarweise auftreten. Wenn x eine Nullstelle des reellen Polynoms P ist, dann ist auch ihre die komplex-Konjugierte [mm] \overline{x} [/mm] eine Nullstelle von P.
In deinem Fall bedeutet dies, dass auch 1-i eine Nullstelle des gesuchten Polynoms ist.
Wenn ihr diesen Satz über komplexe Nullstellen reeller Polynome noch nicht in der Vorlesung besprochen habt, kannst du die Nullstelle k natürlich auch (wie von Abakus empfohlen) über die Zerlegung in Linearfaktoren bestimmen. Bzgl. deiner Frage:
Du sollst nun die Summanden so zusammenfassen, dass du einen Term der folgenden Form erhälst:
[mm] p_{3}x^{3} [/mm] + [mm] p_{2}x^{2} [/mm] + [mm] p_{1}x [/mm] + [mm] p_{0}
[/mm]
Die gesuchte Nullstelle k sowie die gesuchten Koeffizienten a,b und c findest du nun mittels Koeffizientenvergleich:
[mm] p_{3}x^{3} [/mm] + [mm] p_{2}x^{2} [/mm] + [mm] p_{1}x [/mm] + [mm] p_{0} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c
Also:
[mm] p_{3} [/mm] = 1
[mm] p_{2} [/mm] = a
[mm] p_{1} [/mm] = b
[mm] p_{0} [/mm] = c
PS: Wenn du die dritte Nullstelle k kennst (etwa aufgrund des eben genannten Satzes), kannst du auch mit Hilfe des Satzes von Vieta von den Nullstellen auf die Koeffizienten a,b und c schliessen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Sa 18.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für deine Antwort ! Mich interessiert auch die
> zweite Lösungsvariante sehr. Ich habe also eine
> Linearfaktordarstellung meiner Nullstellen, aber wie komme
> ich denn zu der letzten, wenn ich das Polynom habe und
> multipliziere:
>
> [mm](z-1)(z-(1+i))(z-k)[/mm]
> [mm](z-1)(z-1-i))(z-k)[/mm]
> [mm](z^2-z-iz-z+1+i)(z-k)[/mm]
Hallo,
aus Gründen der Effektivität solltest du VOR dem Ausmultilpizieren erst mal zusammenfassen, z.B.
-z...-z als -2z schreiben.
> [mm]((z^3-z^2-iz^2-z^2+z+iz)-(kz^2-kz-kiz-kz+k+ki))[/mm]
>
>
> Wie geht es dann weiter? :-(
Sortiere nach Potenzen von z!
$ ... [mm] =z^3+(-2-i-k)*z^2+(1+i+2k+ki)z+(k+ki)$
[/mm]
Hinter den drei Klammern verbergen sich deine gesuchten Parameter a,b und c.
Gruß Abakus
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
Hallo Abakus,
ich verstehe leider noch immer nicht, wie ich jetzt die Werte für a,b,c dadurch bekommen. Zuerst hatte ich gedacht, dass ich davon bestimmt eine Sachen einsetzen kann und umstellen, dass ich irgendwie auf die Zahlenwerte komme, aber ohne Erfolg.
Zurzeit finde ich diesen Lösungsweg ziemlich schwierig, also muss ich das mit dem Koeffizientenvergleich wohl noch üben. Alleine werde ich vermutlich nicht mehr darauf kommen, wie sich hier aus den Vorfaktoren der Potenzen die konkreten Zahlenwerte a,b,c ergeben. Wenn du es mir nicht sagen möchtest (was ich verstehen könnte), werde ich mich mit dem anderen Weg zufrieden geben. 
Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du hattest
[mm] p(z)=z^3+(-2-i-k)*z^2+(1+i+2k+ki)z+(k+ki).
[/mm]
Die Klammern sind Deine Koeffizienten a,b,c,
Sie sollen reell sein.
Man muß nun überlegen, mit welcher komplexen Zahl k man dies erreicht.
Schreiben wir k als k=r+is mit r.s [mm] \in \IR.
[/mm]
Es ist dann
-2-i-k=(-2-r)+i*(-1-s)
1+i+2k+ki=2+i+2r+i*2s+i*2r-2s=(2+2r-2s)+i*(1+2s+2r)
k+ki=r+is+ir-s=(r-s)+i*(r+s)
Diese Ausdrücke sind reell, wenn die Zahl, mit der i multipliziert wird, die 0 ist.
Daraus bekommst Du ein LGS.
(Leider hat allerdings das hier entstehende LGS keine Lösung. Irgendwo beim Ausmultiplizieren oder Zusammenfassen des Polynoms hat es einen Fehler gegeben, den ich jetzt aber nicht suche.)
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 So 19.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle Polynome p der Form [mm]p(z)=z^3+az^2+bz+c[/mm]
> für die gilt a,b,c [mm]\in \mathbb{R},[/mm] [mm]p(1)=0[/mm] und [mm]p(1+i)=0[/mm].
> Hallo Leute,
> ich habe versucht diese Aufgabe mit einem Art
> Koeffizientenvergleich zu lösen, aber ich bin mir nicht
> sicher, ob das richtig sein könnte.
>
> [mm]p(1)=0[/mm]
> [mm]1+a+b+c=0[/mm]
> [mm]a+b+c=-1[/mm]
>
> [mm]p(1+i)=(i+1)^3+a(1+i)^2+b(1+i)+c[/mm]
> [mm]=(1+2i-1)(1+i)+a(1+2i-1)+b+bi+c[/mm]
>
> Darf ich das dieser Stelle überhaupt das 1-1 streichen?
> Die Subtraktion ist ja nicht kommut
> ativ, aber ich kann ja die Addition sozusagen ranhängen
> oder ?
> [mm]=(2i)(1+i)+a(2i)+b+bi+c[/mm]
> [mm]=2i-2+a+2ai+-a+b+bi+c[/mm]
> [mm]=-2+b+c+i(2+2a+b)[/mm]
>
> [mm]p(1+i)=0[/mm]
> [mm]-2+b+c+i(2+2a+b)=0[/mm]
> => [mm]-2+b+c=0[/mm] und [mm]2+2a+b=0[/mm]
>
> Gleichungssystem aufstellen:
> [mm]a+b+c=-1[/mm]
> [mm]b+c=2[/mm]
> [mm]2a+b =-2[/mm]
>
> [mm]I-II[/mm] => [mm]a=-3[/mm]
>
> Einsetzen in III
>
> [mm]2(-3)+b=-2[/mm]
> [mm]-6+b=-2[/mm]
> [mm]b=4[/mm]
>
> Einsetzen in II
>
> [mm]b+c=2[/mm]
> [mm]c=-4[/mm]
>
>
> [mm]p(z)=z^3-3z^2+4z-4[/mm]
>
>
> Liegt hier irgendwo ein Fehler vor (ich vermute es
> nämlich) und gibt es vielleicht sonst eine bessere
> Möglichkeit zur Lösung?
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Beste Grüße
Nirgendwo steht, dass man a,b und c berechnen soll !
Die Lösung ist dann
$p(z)=(z-1)(z-(1+i))(z-(1-i))$
FRED
|
|
|
|
