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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Mi 16.10.2019 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für lzl=1, [mm] z\not=-1, [/mm] dass Arg(z+1)=0,5*Arg(z) und folgern Sie [mm] IM((\bruch{z}{z+1})^{2})=0. [/mm] Machen Sie außerdem eine Zeichnung und begründen Sie die Aussage geometrisch. |
Hallo liebe Leute,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme. Ich hab so angefangen. Der Betrag ist definiert als [mm] lzl=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] und das soll =1 sein. Daraus folgt [mm] x^{2}+y^{2}=1. [/mm] Gezeichnet habe ich es schon, das ist der Einheitskreis. Dann hatten wir noch in der Vorlesung
log(z)=ln(lzl)+i*Arg(z). Daraus folgt log(lzl)=0+i*Arg(z) und somit [mm] Arg(z)=log(z)\i.
[/mm]
Aber weiter komme ich jetzt nicht, wie zeige ich nun die Gleichheit ?
Dann habe ich [mm] IM((\bruch{z}{z+1})^{2})=0 [/mm] aber wie zeige ich das ?
Viele Grüße
Mandy_90
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Hiho,
deine Formatierung ist ein Graus, schreibe doch für den Betrag bitte wirklich Betragsstriche und nicht kleine "L".
Zumindest die zweite Aussage stimmt nicht:
Sei [mm] $z=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$, [/mm] dann ist $|z| = 1$ und ![[]](/images/popup.gif) eine kurze Berechnung ergibt
[mm] $\left(\frac{z}{z+1}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} - 1 + i*\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}\right)$ [/mm] und damit offensichtlich [mm] $\text{Im}\left[\left(\frac{z}{z+1}\right)^2\right] [/mm] = [mm] \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \not= [/mm] 0$
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Do 17.10.2019 | | Autor: | fred97 |
Ich hab mal ein wenig gerechnet und bin gekommen auf:
ist $|z|=1$ und $z [mm] \ne [/mm] -1$, so gilt
$ [mm] \text{Im}\left[\left(\frac{z}{z+1}\right)^2\right] [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] z=1.$
Also: wie lautet die Aufgabe richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Do 17.10.2019 | | Autor: | fred97 |
Zur ersten Behauptung:
für $|z|=1$ mit $z [mm] \ne [/mm] -1$ haben wir
$(*) [mm] \quad \frac{z}{z+1}= \frac{z( \overline{z}+1)}{(z+1)( \overline{z}+1)}= \frac{z \overline{z}+z}{|z+1|^2}=\frac{|z|^2+z}{|z+1|^2}= \frac{z+1}{|z+1|^2}.$
[/mm]
Für $u,v [mm] \in \IC$ [/mm] mit $v [mm] \ne [/mm] 0$ gilt
[mm] $\arg(\frac{u}{v})= \arg(u)- \arg(v) \quad [/mm] ( [mm] \mod [/mm] 2 [mm] \pi).$
[/mm]
Aus $(*)$ folgt dann (alles [mm] $\mod [/mm] 2 [mm] \pi$):
[/mm]
[mm] $\arg(z+1)=\arg(z+1)-\arg(|z+1|^2)= \arg( \frac{z+1}{|z+1|^2})= \arg(\frac{z}{z+1}) [/mm] = [mm] \arg(z)-\arg(z+1).$
[/mm]
Hieraus ergibt sich ( [mm] $\mod [/mm] 2 [mm] \pi$):
[/mm]
[mm] $\arg(z+1)= \frac{1}{2} \arg(z).$
[/mm]
Mit $(*)$ sieht man nun leicht , dass die zweite Behauptung Unsinn ist:
Wir haben $( [mm] \frac{z}{z+1})^2= \frac{(z+1)^2}{|z+1|^4}$, [/mm] also ist
$ [mm] \text{Im}\left[\left(\frac{z}{z+1}\right)^2\right] [/mm] =0 [mm] \gdw \text{Im}((z+1)^2)=0 \gdw \text{Im}(z)=0$ [/mm] oder $ [mm] \text{Re}(z)=-1.$
[/mm]
Da $|z|=1$ und $z [mm] \ne [/mm] -1$ ist, bekommen wir:
$ [mm] \text{Im}\left[\left(\frac{z}{z+1}\right)^2\right] [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] z=1.$
Fazit: für $|z|=1, z [mm] \ne [/mm] 1 $ und $z [mm] \ne [/mm] -1$ ist $ [mm] \text{Im}\left[\left(\frac{z}{z+1}\right)^2\right] \ne [/mm] 0.$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Fr 18.10.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu fred,
vielen dank für deine tolle Vorarbeit.
Mir fiel nur gerade auf, dass man aus deiner ersten Gleichung auch ohne Rechenregeln für das Argument das gewünschte fordern kann:
Du hattest
> [mm]\frac{z}{z+1}= \frac{z+1}{|z+1|^2}.[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] z = [mm] w^2$ [/mm] mit [mm] $w=\frac{z+1}{|z+1|}$
[/mm]
Nun sieht man aus der Polarform sofort: $arg(z+1) = arg(w)$ und $arg(z) = [mm] \frac{1}{2}arg(w)$
[/mm]
Damit folgt dann das Gewünschte.
Nur als Alternativweg 
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Fr 18.10.2019 | | Autor: | fred97 |
> Huhu fred,
>
> vielen dank für deine tolle Vorarbeit.
> Mir fiel nur gerade auf, dass man aus deiner ersten
> Gleichung auch ohne Rechenregeln für das Argument das
> gewünschte fordern kann:
>
> Du hattest
> > [mm]\frac{z}{z+1}= \frac{z+1}{|z+1|^2}.[/mm]
> [mm]\gdw z = w^2[/mm] mit
> [mm]w=\frac{z+1}{|z+1|}[/mm]
>
> Nun sieht man aus der Polarform sofort: [mm]arg(z+1) = arg(w)[/mm]
> und [mm]arg(z) = \frac{1}{2}arg(w)[/mm]
>
> Damit folgt dann das Gewünschte.
> Nur als Alternativweg
Hallo Gono ,
danke für diese einfache Herleitung. [mm] $z=w^2$ [/mm] hab ich nicht gesehen, damit geht's natürlich viel einfacher.
Gruß
Fred
>
> Gruß,
> Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 17.10.2019 | | Autor: | fred97 |
Ich glaube , in der zweiten Behauptung hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen und richtig lautet sie so:
$ [mm] \text{Im}(\frac{z}{(z+1)^2})=0$ [/mm] für $|z|=1 , z [mm] \ne [/mm] -1.$
Mit $ [mm] \arg(z+1)= \frac{1}{2} \arg(z)$ [/mm] folgt das so ( alles $ [mm] \mod [/mm] 2 [mm] \pi$):
[/mm]
[mm] $\arg(\frac{z}{(z+1)^2})= \arg(z)-2 \arg(z+1)= \arg(z)-\arg(z)=0.$
[/mm]
Damit ist [mm] $\frac{z}{(z+1)^2} \in \IR.$
[/mm]
Das kann man auch so sehen:
[mm] $\frac{z}{(z+1)^2}= \frac{z(\overline{z}+1)^2}{|z+1|^4}$.
[/mm]
Zuzeigen ist also [mm] $z(\overline{z}+1)^2 \in \IR$. [/mm] Wegen $|z|=1$ ist
$ [mm] z(\overline{z}+1)^2= \overline{z}+2 [/mm] +z$, woraus man das Gewünschte ablesen kann.
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