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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 06.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Guten Abend!!
ich sollte die Gleichung [mm] $z^2+i=0 [/mm] $ lösen.
Das habe ich auf sehr komplizierte Weise gemacht, guckt es euch mal bitte an:
$z=x+yi $(in die Gleichung)
[mm] $(x+yi)^2+i=0 [/mm] $
[mm] $x+y^2i^2+2yix+i=0$
[/mm]
[mm] $x^2-y^2+2yix+i=0$
[/mm]
Daraus folgenden die Gleichungen
$1) [mm] x^2-y^2=0 \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pm \sqrt{y^2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] y$
$2) 2yix+i=0$
Nun habe ich mal +y in die zweite Gleichung eingesetzt
$2yi(y)+i=0$
[mm] $2y^2*i=-i$
[/mm]
[mm] $y^2 [/mm] = [mm] \frac{-i}{2i}$
[/mm]
$y [mm] =\pm \sqrt{-0.5} [/mm] = [mm] \pm \sqrt{0.5}i$
[/mm]
Also ist eine Lösung (wieder zurück in 1) )
[mm] $x^2-(\sqrt{0.5}*i)^2 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x= - [mm] \sqrt{0.5}i \vee x=\sqrt{0.5}i$
[/mm]
(gilt für y = - ... und y=+... wegen dem Quadrieren ist das Vorzeichen ja egal)
Also bleibt noch der Fall für die Lösung, dass x=-y ist.
dann erhalte ich nach Einsetzen in 2 die Lösung y= [mm] \pm \sqrt{0.5}
[/mm]
Wieder in 1 eingesetzt ergibt sich [mm] x=\sqrt{0.5} \vee x=-\sqrt{0.5}
[/mm]
So, wie schliesse ich jetzt aber auf die Lösungen der Gleichung [mm] z^2+i=0, [/mm] denn die lauten
[mm] $z_1 [/mm] = [mm] -\sqrt{0.5}+\sqrt{0.5}i$
[/mm]
[mm] $z_2 [/mm] = [mm] \sqrt{0.5}-i\sqrt{0.5}$
[/mm]
Gruß, Wehm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 06.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wehm!
Diese Rechnung funktioniert wesentlich einfacher über die Formel von ![[]](/images/popup.gif) Moivre für die Gleichung [mm] $z^2 [/mm] \ = \ -i$ :
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi +k*2\pi}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi +k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ =\ 0 ... (n-1)$
Dabei gilt hier: $r \ = \ [mm] \wurzel{0^2+(-1)^2} [/mm] \ = \ 1$ und [mm] $\varphi [/mm] \ = \ -90° \ = \ [mm] \bruch{-\pi}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}\pi$ [/mm] :
> [mm](x+yi)^2+i=0[/mm]
>
> [mm]x+y^2i^2+2yix+i=0[/mm]
Hier sollte man vorher umstellen zu:
[mm] $x^2+2xy*i-y^2 [/mm] \ = \ -i \ = \ [mm] \blue{0}+(\red{-1})*i$
[/mm]
Denn hier folgt nun ein Koeffizientenvergleich:
[mm] $x^2-y^2 [/mm] \ = \ [mm] \blue{0}$
[/mm]
$2xy \ = \ [mm] \red{-1}$
[/mm]
> Daraus folgenden die Gleichungen
> [mm]1) x^2-y^2=0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{y^2} = \pm y[/mm]
> [mm]2) 2yix+i=0[/mm]
Denn das stimmt so nicht, da Du aus einer Summe, die Null ergeben soll, nicht auf die Einzelsummanden schließen kannst.
Es ginge hier noch über den den Imaginärteil:
$2xy+1 \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Dann war mein weg ja völlig falsch. Danke euch beiden ihr habt alle unklarheiten beseitigt.
Gruß, Wehm
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Hallo Wehm,
nein, dein Weg war nicht falsch, er ist nur "gefährlicher", also
fehleranfälliger - deine Lösung stimmt ja, nur hättest du statt x=y nur x=-y weiter verwenden dürfen/können.
Ansonsten stimmte das.
Nur ist der Weg über die Formel, die Loddar angegeben hat, kürzer und v.a. eleganter 
Gruß
schachuzipus
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] y\in\IR [/mm] !!!
