Komplexe Zahlen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 29.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
| Aufgabe | Gib die Lösungen folgender Gleichungen in Polarform und in Normalform an! Die Werte der auftretenden trigonometrischen Funktionen lassen sich exakt angeben.
a) [mm] z^2=i
[/mm]
b) [mm] z^2=-i
[/mm]
c) [mm] z^3=27
[/mm]
d) [mm] z^3=i
[/mm]
e) [mm] z^4=81
[/mm]
f) [mm] z^4=-81 [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung...
Ich habe Aufgabenteil a soweit geschafft (aber auch nur, weil der Lehrer einen Lösungsansatz vorgegeben hat...)
Aber wie gehe ich bei den anderen Aufgaben vor? Kann mir vielleicht jemand das Vorgehen anhand einer Aufgabe z.B. c) erklären, dann kann ich das auf die anderen Aufgabenteile anwenden.
Vielen Dank und liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 29.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Kennst Du die ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel?
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ = \ 0...(n-1)$
Damit sollte die entsprechenden Gleichungen ziemlich schnell zu lösen sein.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 29.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Nein, die Formel kenne ich nicht, aber die Aufgabe wurde in Anlehnung an die komplexe Einheitswurzel gestellt, ich sehe aber den Zusammenhang nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Di 29.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Nein, die Formel kenne ich nicht, aber die Aufgabe wurde in
> Anlehnung an die komplexe Einheitswurzel gestellt, ich sehe
> aber den Zusammenhang nicht...
Wenn du die komplexen einheits wurzeln kannst ist es ganz einfach:
[mm] z^3=27 [/mm] dh [mm] z=\wurzel[3]{27}*\wurzel[3]{1}
[/mm]
die [mm] \wurzel[3]{27} [/mm] ist dabei einfach die reelle Zahl 3 und du musst nur noch die [mm] \wurzel[3]{1} [/mm] komplex berechnen, und die komplexen Zahlen die du da findest mit 3 multipl.
( das kommt daher, dass sich ja beim Multipl. die Beträge auch einfach multipl.)
reicht dir das? sonst schreib wie ihr die kompl. Einheitswurzeln bestimmt habt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 29.05.2007 | | Autor: | Yohe |
Hallo Sarah!
Wenn du [mm] z^3=27 [/mm] lösen möchtest, kannst du doch die 3. komplexe
Wurzel ziehen. Im Komplexen gibt es dann 3 Stück.
Im Rellen würdest du ja [mm] x^2=9 [/mm] auch durch Wurzelziehen lösen.
Und damit kommt die Moivre Formel, die Loddar geschrieben hat, ins Spiel.
Da 27 eine reelle Zahl ist der Winkel [mm] \phi [/mm] =0.
Für die erste 3.Wurzel (k =0) heißt das z= [mm] \wurzel[3]{27}.
[/mm]
Diese ist also rein reell. Dann kommen die anderen Wurzeln für k=1 und k=2. Dabei bekommst du dann Real-und Imaginärteile. Das sollte dann die Normalform sein. Die Polarform ist eigentlich einfacher, denn für die
brauchst da ja nur Radius und Winkel und das hast du.
Ich hoffe das hilft dir weiter!
Gruß
Yohe
|
|
|
|
