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Also: Wir haben folgende Aufgabe gestellt bekommen und ich weiss nicht, wie ich die komplexen Zahlen beschreiben soll. Etwa in der Form z=a+ib oder wie? Es sollen doch aber eine bestimmte Anzahl von zahlen rauskommen. Kann mir bitte jemand diese Aufgabe lösen? Am besten mit Erklärung. Das ganze hat bis mittwoch abend Zeit. Hier nun die Aufgabe:
Determine all complex numbers z which satisfy:
(a) | z − 1 | < | z + 1 |
(b) | z − [mm] z_{0} [/mm] | = r with fixed [mm] z_{0} \in \IC [/mm] and r > 0;
(c) Re [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
(d) |z-2|+|z+2|=10
(e) [mm] z^{2}= \bruch{1+i}{1-i}
[/mm]
Vielen dank schonmal!!!!!!!
Der Limes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo LimesWissengeg0,
Du hast doch mit Sicherheit bei diesen 5 Aufgaben irgendwelche eigene Lösungsansätze oder Ideen.
Bitte mach' diese doch hier öffentlich, damit wir sehen können, wo genau es hängt ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich rechne dir mal die erste Teilaufgabe vor, damit du siehst, wie man so etwas macht:
[mm] $\{z \in \IC\, :\, |z-1| < |z+1|\}$
[/mm]
$= [mm] \{z \in \IC\, : \, |z-1|^2 < |z+1|^2\}$
[/mm]
$= [mm] \{z \in \IC\, : \, |z|^2 - 2Re(z) + 1 < |z|^2 + 2Re(z) + 1\}$
[/mm]
[mm] $=\{z \in \IC\, :\, Re(z)>0\}$.
[/mm]
Okay, und hier die e) noch:
[mm] $\{z \in \IC\, : \, z^2 = \frac{1+i}{1-i}\}$
[/mm]
$= [mm] \{z \in \IC\, : \, z^2 = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\}$
[/mm]
$= [mm] \{z \in \IC\, : \, z^2 = \frac{2i}{2}\}$
[/mm]
$= [mm] \{z \in \IC\, : \, z^2 = i\}$
[/mm]
[mm] $=\{z \in \IC\, : \, z^2 = e^{i\frac{\pi}{2}}\}$
[/mm]
[mm] $=\{ e^{i\frac{\pi}{4}}, - e^{i\frac{\pi}{4}}\}$
[/mm]
[mm] $=\{ \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\}$.
[/mm]
So, und bei den anderen Teilaufgaben wollen wir jetzt wirklich erst einmal eigene Ansätze und Ideen von dir sehen.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mi 08.12.2004 | | Autor: | maria |
Irgendwie versteh ich nicht ganz warum [mm] z^{2}=Re(z) [/mm] ist!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Maria!
Wer behauptet das denn? Und wo?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mi 08.12.2004 | | Autor: | maria |
Tschuldigung, ich mein natürlich, wenn du [mm] |z-1|^{2} [/mm] auflöst, wie kommst du auf das Re(z). Ich würde das so auflösen: [mm] |z|^{2}-2z+1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Maria!
> Tschuldigung, ich mein natürlich, wenn du [mm]|z-1|^{2}[/mm]
> auflöst, wie kommst du auf das Re(z). Ich würde das so
> auflösen: [mm]|z|^{2}-2z+1[/mm]
Das wäre aber falsch, wenn du das so machen würdest. 
Richtig geht es so:
[mm] $|z-1|^2 [/mm] = (z-1) [mm] \cdot \overline{(z-1)} [/mm] = (z-1) [mm] \cdot (\bar{z}-1) [/mm] = [mm] z\bar{z} [/mm] - z - [mm] \bar{z} [/mm] + 1 = [mm] |z|^2 [/mm] - 2Re(z) + 1$
wegen
$Re(z) = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] (z + [mm] \bar{z})$.
[/mm]
Verstanden?
Liebe Grüße
Julius
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Hallo!
Bei der Aufgabe d) kommen wir zum Schluss durch Betragauflösen und Umformen auf die Gleichung:
[mm] a^2+b^2=46.
[/mm]
Wir dachten man kann das als [mm] (a-0)^2+(b-0)^2=\wurzel46^2 [/mm] deuten und dies wäre ja eine Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt M(0|0) und [mm] r=\wurzel46.
[/mm]
OK. Das hier war wohl Quark. Weitere Idee siehe untem im Strang.
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Wie seid ihr denn darauf gekommen?
Habt ihr die gesamte linke Seite quadriert oder erst umgeformt?
mfg
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Hallo!
Wir haben gemerkt das diese Lösung nicht stimmt. Man muss irgendwie das so umformen, dass zum Schluss eine Ellipsengleichung herauskommt. Bekommen aber leider die Klammer nicht aufgelöst.
D.h. [mm] \wurzel{(a+b-2)^2}+\wurzel{(a+b+2)^2}=10
[/mm]
...
dann [mm] \wurzel{a^2+2ab+b^2+4-4a-4b}+\wurzel{a^2+2ab+b^2+4+4a+4b}=10
[/mm]
Wie bekommt an jetzt die Wurzeln weg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Mi 08.12.2004 | | Autor: | maria |
Also ich habe die Aufgabe d) analog zur Aufgabe a) gemacht und komme am Ende auf diese Ungleichung [mm] |z^{2}|=46 [/mm] Hmmm, was jetzt richtig ist, weiß ich auch nicht, aber die Zahl 46 scheint schon irgendwie zu stimmen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Antiprofi |
Hallo Maria.
Du hast zum Schluss etwa das Gleiche raus, da |z| = [mm] \wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
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Ich finde bei der b einfach keinen geeifneten Ansatz. Zumindest bringt mich nichts weiter.
[mm] |z²|-2Re(zz_{0}) [/mm] + [mm] |z_{0}|² [/mm] = r² und dann oder muss man das anders machen?
bei c) komme ich für z auf 2 ist das richtig?
mfg
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Hallo Conny!
Zu b)
[mm] |z-z_0|=r
[/mm]
[mm] |(a+bi)-(a_0+b_0i)|=r
[/mm]
[mm] \wurzel{(a-a_0)^2+(b-b_0)^2}=r
[/mm]
[mm] (a-a_0)^2+(b-b_0)^2=r^2 [/mm] ist eine Kreisgleichung mit [mm] M(a_0|b_0) [/mm] und Radius r.
zu c)
[mm] Re(\br{1}{z}) [/mm] = [mm] \br{a}{a^2b^2} [/mm] d.h. [mm] \br{1}{2}=\br{a}{a^2b^2}
[/mm]
...
zum Schluss [mm] 1=(a-1)^2+(b-0)^2 [/mm] Kreisgleichung mit M(1|0) und r=1.
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