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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mo 27.12.2004 | | Autor: | maria |
Hallo! Weiß jemand warum [mm] \wurzel{i}=(cos\bruch{1}{2}\bruch{\pi}{2}+i*sin\bruch{1}{2}\bruch{\pi}{2}=(\bruch{\wurzel{2}}{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] bzw. warum [mm] \wurzel{-i}=(\bruch{\wurzel{2}}{2} \pm i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] ist. Im Zusammenhang von Lösung quadratischer Gleichungen bin ich darauf gestoßen.
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Die Umformungen gehen zurück auf die Formel [mm]e^{i \cdot \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi)[/mm]
Man kann die Zahl i darstellen durch [mm]e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}[/mm], weil [mm]e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}} = cos(\bruch{\pi}{2}) + i \cdot sin(\bruch{\pi}{2}) = 0 + i \cdot 1 = i[/mm].
Und allgemein kann man schreiben: [mm]\wurzel{x}=x^{\bruch{1}{2}}[/mm].
Und es gilt die Rechenregel: [mm](a^b)^c=a^{b \cdot c}[/mm].
Also gilt hier: [mm]\wurzel{i} = i^{\bruch{1}{2}} = (e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}})^{\bruch{1}{2}} = e^{i \cdot \bruch{\pi}{4}} = cos(\bruch{\pi}{4}) + i \cdot sin(\bruch{\pi}{4}) = \bruch{\wurzel{2}}{2} + i \cdot \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Bei deiner zweiten Gleichung bin ich mir ehrlich gesagt nicht ganz sicher, ob man sie so stehen lassen kann.
In den reellen Zahlen gilt ja [mm]\wurzel{25}=5[/mm], und nicht [mm]\wurzel{25}=\pm 5[/mm] (das gilt nur bei Gleichungen).
Deswegen stört mich das [mm]\pm[/mm] ein wenig.
Ansonsten kann man das [mm]\wurzel{-i}[/mm] umformen durch:
[mm]\wurzel{-i} = \wurzel{(-1) \cdot i} = \wurzel(-1) \cdot \wurzel{i} = i \cdot \wurzel{i} = i \cdot i^{\bruch{1}{2}} = i^{\bruch{3}{2}}[/mm], und somit:
[mm]i^{\bruch{3}{2}} = (e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}})^{\bruch{3}{2}} = e^{i \cdot \bruch{3\pi}{4}}[/mm], und das kannst du wieder auflösen mit der obigen Euler-Formel [mm]e^{i \cdot x} = cos(x) + i \cdot sin(x)[/mm].
Aber ich komme da auf eine andere Lösung, nämlich [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2} + i \cdot \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm].
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