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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 27.08.2009 | | Autor: | fastgiga |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1:
Geben Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der folgenden Gleichung in der Form z = a + bi mit a, b [mm] \in \IR [/mm] an:
(z + [mm] 3i)^4 [/mm] = 16
Lösung:
2 − 3i, −2 − 3i, −i, −5i |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2:
Geben Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der folgenden Gleichung in der Form z = a + bi mit a, b [mm] \in \IR [/mm] an:
(z + [mm] i)^3 [/mm] = −8
Lösung:
−2 − i, 1 + (√3 − 1)i, 1 − (√3 + 1)i |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Tach auch,
nunja, erstmal zur Aufgabe 1, die war eigentlich recht einfach, erstmal hab ich mir überlegt dass des (b+3) für b=-3 ja null ist, sodass keine komplexe zahl dasteht, sonder nur noch [mm] a^4=16.
[/mm]
dann wäre also [mm] a=\pm2 [/mm] und b=-3.
Als zweite Möglichkeit hab ich mir dann gedacht ist a=0, dann hatt man nur noch [mm] ((b+3)i)^4=(b+3)^4*i^4=(b+3)^4.
[/mm]
Also muss [mm] (b+3)=\pm2 [/mm] sein, also für b= -1 und b= -5.
Alles kein Problem und erste Aufgabe gelöst, dann hab ich mir die zweite angekuckt und dachte erstmal das die ja genauso einfach geht wie die ersten...problem ist nur sich sich bei hoch 3 des i ja nicht komplett wegkürzt, also hab ich gerechet und kam bis jetzt nur auf 2 der 3 möglichen Lösungen.
Die erste is ja wieder so gewählt das des (b+1) null wird, und dann eben a=-2.
Danach wirds happig^^. Zuerst hab ichs mit Polarkoords versucht, da mich des ganze irgendwie an Wurzel ziehern erinnert hat (komplexe zahlen sind bei mir schon ne weile her...und mein Langzeit gedächtnis is nich so gut xD) aber da hab ich nur bockmisst rausbekommen. Wenn ich nicht weiterkomm mach ich meißtens stures ausrechnen, und bin dann auf 2 Bedingungen gekommen:
Aus [mm] (a+(b+1)i)^3=-8 [/mm] ergibt sich:
[mm] a^3+3*a^2*(b+1)*i-3*a*(b+1)^2-(b+1)^3*i=-8
[/mm]
Also müssen sich die komplexen einträge gegenseitig kürzen, und die reellen müssen -8 ergeben:
(1) [mm] 3*a^2=(b+1)^2
[/mm]
(2) [mm] a^3-3*a*(b+1)^2=-8
[/mm]
Aus (1):
(3) [mm] a=\pm [/mm] (b+1) / [mm] \wurzel{3}
[/mm]
(3) in (2):
b= [mm] \wurzel{3} [/mm] -1
Aber irgendwie komme ich nicht auf die 3. lösung der Gleichung....
Könnte sein das ich beim einsetzten von a=- (b+1) / [mm] \wurzel{3} [/mm] nen fehler gemacht habe, dass is aber gar nicht meine Hauptfrage.
Mein eigentliches Prob ist, geht dass nicht irgendwie schneller?
Bei der ersten Aufgabe hab ich eigentlich gar niht großartig viel gerechnet, dass war eher ne Kopfrechen aufgabe, aber bei der 2. hab ich 2 seiten geschrieben...
Könnt ihr mir weiterhelfen wie ich Aufgaben wie die Nummer 2 schneller und vielleicht einfach löse? Weil bei so vielen rechenschritten verrechnet man sich gerne.
Im Vorraus schonmal vielen Dank für eure Hilfe und bis dann
*Edit*
Sry für die total nix sagende Überschrift...mir is echt nix besseres eingefallen...sry
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Do 27.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 1:
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> Geben Sie alle Lösungen z [mm]\in \IC[/mm] der folgenden Gleichung
> in der Form z = a + bi mit a, b [mm]\in \IR[/mm] an:
>
> (z + [mm]3i)^4[/mm] = 16
>
> Lösung:
> 2 − 3i, −2 − 3i, −i, −5i
> Aufgabe 2:
>
> Geben Sie alle Lösungen z [mm]\in \IC[/mm] der folgenden Gleichung
> in der Form z = a + bi mit a, b [mm]\in \IR[/mm] an:
>
> (z + [mm]i)^3[/mm] = −8
>
> Lösung:
> −2 − i, 1 + (√3 − 1)i, 1 − (√3 + 1)i
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Tach auch,
> nunja, erstmal zur Aufgabe 1, die war eigentlich recht
> einfach, erstmal hab ich mir überlegt dass des (b+3) für
> b=-3 ja null ist, sodass keine komplexe zahl dasteht,
> sonder nur noch [mm]a^4=16.[/mm]
>
> dann wäre also [mm]a=\pm2[/mm] und b=-3.
>
> Als zweite Möglichkeit hab ich mir dann gedacht ist a=0,
> dann hatt man nur noch [mm]((b+3)i)^4=(b+3)^4*i^4=(b+3)^4.[/mm]
>
> Also muss [mm](b+3)=\pm2[/mm] sein, also für b= -1 und b= -5.
>
> Alles kein Problem und erste Aufgabe gelöst, dann hab ich
> mir die zweite angekuckt und dachte erstmal das die ja
> genauso einfach geht wie die ersten...problem ist nur sich
> sich bei hoch 3 des i ja nicht komplett wegkürzt, also hab
> ich gerechet und kam bis jetzt nur auf 2 der 3 möglichen
> Lösungen.
Hallo,
verwende die trigonometrische Form.
Es gilt 16=16(cos 0°+i*sin0°), was identisch ist mit 16(cos 360°+i*sin360°), 16(cos 720°+i*sin720°), 16(cos 1080°+i*sin1080°)
Diese 16 ist die vierte Potenz wovon?
- von einer komplexen Zahl, deren Betrag 2 und deren Argument 1/4 von 0° (bzw. von 360°, 720° oder 1080° ist.
Stichwort: Formel von Moivre
Gruß Abakus
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> Die erste is ja wieder so gewählt das des (b+1) null wird,
> und dann eben a=-2.
>
> Danach wirds happig^^. Zuerst hab ichs mit Polarkoords
> versucht, da mich des ganze irgendwie an Wurzel ziehern
> erinnert hat (komplexe zahlen sind bei mir schon ne weile
> her...und mein Langzeit gedächtnis is nich so gut xD) aber
> da hab ich nur bockmisst rausbekommen. Wenn ich nicht
> weiterkomm mach ich meißtens stures ausrechnen, und bin
> dann auf 2 Bedingungen gekommen:
>
> Aus [mm](a+(b+1)i)^3=-8[/mm] ergibt sich:
> [mm]a^3+3*a^2*(b+1)*i-3*a*(b+1)^2-(b+1)^3*i=-8[/mm]
>
> Also müssen sich die komplexen einträge gegenseitig
> kürzen, und die reellen müssen -8 ergeben:
>
> (1) [mm]3*a^2=(b+1)^2[/mm]
> (2) [mm]a^3-3*a*(b+1)^2=-8[/mm]
>
> Aus (1):
>
> (3) [mm]a=\pm[/mm] (b+1) / [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> (3) in (2):
> b= [mm]\wurzel{3}[/mm] -1
>
> Aber irgendwie komme ich nicht auf die 3. lösung der
> Gleichung....
> Könnte sein das ich beim einsetzten von a=- (b+1) /
> [mm]\wurzel{3}[/mm] nen fehler gemacht habe, dass is aber gar nicht
> meine Hauptfrage.
>
> Mein eigentliches Prob ist, geht dass nicht irgendwie
> schneller?
> Bei der ersten Aufgabe hab ich eigentlich gar niht
> großartig viel gerechnet, dass war eher ne Kopfrechen
> aufgabe, aber bei der 2. hab ich 2 seiten geschrieben...
>
> Könnt ihr mir weiterhelfen wie ich Aufgaben wie die Nummer
> 2 schneller und vielleicht einfach löse? Weil bei so
> vielen rechenschritten verrechnet man sich gerne.
>
> Im Vorraus schonmal vielen Dank für eure Hilfe und bis
> dann
>
> *Edit*
> Sry für die total nix sagende Überschrift...mir is echt
> nix besseres eingefallen...sry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Fr 28.08.2009 | | Autor: | fastgiga |
Ich hab nochmal ne Frage, und zwar, was mache ich eigentlich falsch, wenn ich direkt vom beginn an, also dem
[mm] (z+1)^3=-8
[/mm]
die 3. wurzel ziehe?
weil dann kommt ja
z+1=-2 raus, und man hätte sofort eine Lösunge, nur irgendwass dabei muss ja falsch, bzw. unvollständig sein, sonst könnte ich ja auch die anderen 2 lösugnen rausfinden...
Kann mir da noch jmd weiterhelfen?
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Hallo fastgiga!
Beim herkömmlichen Wurzelziehen erhältst Du lediglich reelle (und genau genommen gar nur: nichtnegative) Werte.
Damit fehlen Dir automatisch die nichtreellen (d.h. komplexen) Lösungen.
Von daher solltest Du in [mm] $\IC$ [/mm] die  Moivre-Formel verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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