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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Manuela |
Seien b, c Element C. Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der Lösung der Gleichung
[mm] z^2+bz+c=0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Manuela!
> Seien b, c Element C. Bestimmen Sie den Real- und
> Imaginärteil der Lösung der Gleichung
> [mm] z^2+bz+c=0
[/mm]
Zunächst einmal gilt auch im Komplexen die p-q-Formel, hier also:
[mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}$,
[/mm]
wobei [mm] $\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$ [/mm] für die beiden möglichen komplexen Wurzeln steht.
Die Schwierigkeit besteht also darin, die beiden Wurzeln von
[mm] $\frac{b^2}{4}-c$
[/mm]
zu finden.
Wie aber findet man die Wurzel einer komplexen Zahl?
Satz:
Aus einer komplexen Zahl [mm] $\red{w=u+iv}$ [/mm] kann man genau zwei Quadratwurzeln ziehen. Insbesondere ist in [mm] $\IC$ [/mm] jede quadratische Gleichung [mm] $\red{z^2 + bz + c}$ [/mm] lösbar.
Beweis:
Wir schreiben $z=x+iy$. Dann gilt
[mm] $z^2 [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] + i2xy = u+iv = w$
genau dann, wenn
[mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = u$,
$2xy = v$,
gilt. Das heißt aber:
[mm] $x^2 [/mm] - [mm] \frac{v^2}{4x^2} [/mm] = u$
oder besser:
[mm] $x^4 [/mm] - [mm] ux^2 [/mm] = [mm] \frac{v^2}{4}$.
[/mm]
Diese Gleichung hat eine reelle Lösung, nämlich:
$x= [mm] \frac{\sqrt{u + \sqrt{ u^2 + v^2}}}{\sqrt{2}}$.
[/mm]
Man hat dann noch:
$y = [mm] \frac{v}{2x}$
[/mm]
und damit die erste Lösung [mm] $z_1=x+iy$ [/mm] der Gleichung [mm] $z^2=w$ [/mm] bestimmt.
Die zweite ist gegeben durch [mm] $z_2 [/mm] = - [mm] z_1$.
[/mm]
Was musst du nun also tun?
Du musst erst einmal mit den gerade vorgestellten Formeln die beiden komplexen Wurzeln von
[mm] $\frac{b^2}{4}-c$
[/mm]
bestimmen.
Dann erhältst du die beiden Lösungen:
[mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}$.
[/mm]
Diese kannst du nach Real- und Imaginärteil separieren.
Es mag sein, dass das auch schneller geht, nur sehe ich es gerade nicht.
Liebe Grüße
Stefan
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