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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Fr 08.07.2005 | | Autor: | ocram |
wie verhält sich das beim Logarithmieren im Komplexen mit den Logarithmengesetzen? In mehreren Mathebüchern finde ich, dass die Logarithmengesetze dieselben sind wie im reellen.
Was ist aber mit diesen Beispielen, die ich auf einer Internetseite gefunden habe?
ln(-1) + ln(-1)=
nach Logarithmengesetz könnte ich ja umformen:
= ln((-1)*(-1)) = ln(1) = 0
einzeln ausgerechnet ergäbe sich aber:
ln(-1) + ln(-1) =ln (e hoch i [mm] \pi) [/mm] + ln ( e hoch i [mm] \pi) [/mm] =2 [mm] \pi [/mm] i
Was ist denn da nun richtig? Wie muss ich rechnen, damit ich keine Fehler mache?
Dieses und ein weiteres Beispiel habe ich auf www.netzwelt.de/lexikon/Logarithmus.html gefunden
mfg
ocram
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Logarithmen- und Potenzgesetze gelten im Komplexen (im Allgemeinen) natürlich nicht.
Vergleiche dazu auch diesen Beitrag.
Man hat etwa
[mm] $Log(z_1z_2)= [/mm] Log [mm] (z_1) [/mm] + Log [mm] (z_2)$
[/mm]
genau dann, wenn für die in [mm] $]-\pi,\pi[$ [/mm] gelegenen Argumente [mm] $arg(z_1)$ [/mm] und [mm] $arg(z_2)$ [/mm] auch
[mm] $arg(z_1) [/mm] + [mm] arg(z_2) \in ]-\pi,\pi[$
[/mm]
gilt.
An die Moderatoren: Bitte die Frage + Antwort ins Funktionentheorie-Forum verschieben, Danke. 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Fr 08.07.2005 | | Autor: | ocram |
Danke erstmal für Antwort
dass das zur funktionentheorie gehört wusst ich nicht , sorry
aber jetzt nur noch mal ob ichs gerafft habe was du mit deinem offenen Intervall meintest:
Ich könnte das Logarithmengesetz also anwenden für beispielsweise
[mm] 3*e^{i0,1 \pi} [/mm] und [mm] 2*e^{i0,3 \pi} [/mm] da ja beide Argumente innerhalb des Intervalls liegen und auch die Summer der beiden Argumente innerhalb liegt.
Und jetzt zu der Sache mit den Zweigen
bei ln(-1) + ln(-1) = ln(-1*-1) müsste ich also folgendermaßen weiterrechnen, um zur richtigen Lösung zu kommen:
= [mm] ln(e^{i \pi}*e^{i \pi})=ln(e^{2 \pi i +k2 \pi i })=ln(e^{0+k2 \pi i}=0+2k \pi [/mm] i
da der Hauptwert k=0 eine falsch Aussage ergäbe, muss ich den Nebenwert k=1 nutzen und erhalte 2 [mm] \pi [/mm] i las Lösung
Ich hoffe ich liege einigermaßen richtig
mfg
ocram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo ocram!
> Ich könnte das Logarithmengesetz also anwenden für
> beispielsweise
> [mm]3*e^{i0,1 \pi}[/mm] und [mm]2*e^{i0,3 \pi}[/mm] da ja beide Argumente
> innerhalb des Intervalls liegen und auch die Summer der
> beiden Argumente innerhalb liegt.
Ja, es gilt:
$Log(3 [mm] \cdot e^{i0,1\pi} \cdot 2e^{i0,3\pi}) [/mm] = [mm] Log(3\cdot e^{i0,1\pi}) [/mm] + [mm] Log(2\cdot e^{i0,3\pi})$.
[/mm]
> Und jetzt zu der Sache mit den Zweigen
>
> bei ln(-1) + ln(-1) = ln(-1*-1)
Diese Gleichheit gilt im Folgenden Sinne:
Es gibt Zweige [mm] $Log_1$, $Log_2$ [/mm] des Logarithmus mit
[mm] $Log_1(-1) [/mm] + [mm] Log_1(-1) [/mm] = [mm] Log_2((-1) \cdot [/mm] (-1))$.
> müsste ich also
> folgendermaßen weiterrechnen, um zur richtigen Lösung zu
> kommen:
>
> = [mm]ln(e^{i \pi}*e^{i \pi})=ln(e^{2 \pi i +k2 \pi i })=ln(e^{0+k2 \pi i}=0+2k \pi[/mm]
> i
>
> da der Hauptwert k=0 eine falsch Aussage ergäbe, muss ich
> den Nebenwert k=1 nutzen und erhalte 2 [mm]\pi[/mm] i las Lösung
Ja, so kann man es sagen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Julius
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