Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Bestimme drei komplexe Zahlen, so dass [mm] x^3 [/mm] = 1 gilt. |
Hallo gemeinde ;) ich hätte nochmal eine Frage
Meine Ansätze:
[mm] x^3-1=0
[/mm]
[mm] x_{1}=1
[/mm]
Polynomdivision
[mm] x^3-1 [/mm] : (x-1) = [mm] x^2 [/mm] + x +1
[mm] x^3-1= [/mm] (x-1) [mm] \cdot [/mm] ( [mm] x^2 [/mm] + x +1)
0 = (x-1) [mm] \cdot [/mm] ( [mm] x^2 [/mm] + x +1)
Produktnullsatz
(x-1)=0
[mm] x_{1}=1
[/mm]
0=( [mm] x^2 [/mm] + x +1)
p-q-Formel
x = -1/2 [mm] \pm \sqrt{\frac{-3}{4}}
[/mm]
Wie kann ich dass in eine Komplexe zahl umwandeln?
DANKE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Sa 05.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Bestimme drei komplexe Zahlen, so dass [mm]x^3[/mm] = 1 gilt.
> Hallo gemeinde ;) ich hätte nochmal eine Frage
>
> Meine Ansätze:
> [mm]x^3-1=0[/mm]
> [mm]x_{1}=1[/mm]
>
> Polynomdivision
> [mm]x^3-1[/mm] : (x-1) = [mm]x^2[/mm] + x +1
>
> [mm]x^3-1=[/mm] (x-1) [mm]\cdot[/mm] ( [mm]x^2[/mm] + x +1)
> 0 = (x-1) [mm]\cdot[/mm] ( [mm]x^2[/mm] + x +1)
>
> Produktnullsatz
> (x-1)=0
> [mm]x_{1}=1[/mm]
>
> 0=( [mm]x^2[/mm] + x +1)
> p-q-Formel
> x = -1/2 [mm]\pm \sqrt{\frac{-1}{3}}[/mm]
das stimmt nicht, rechne nochmal nach.
>
> Wie kann ich dass in eine Komplexe zahl umwandeln?
> DANKE
Mit dieser Beziehung: [mm] $i^2=-1\Leftrightarrow i=\sqrt{-1}$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
hab schon ausgebessert.
Hilft mir nicht ganz weiter...;/
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Hallo sissile,
> hab schon ausgebessert.
> Hilft mir nicht ganz weiter...;/
Für [mm]\wurzel{\bruch{-3}{4}}[/mm] kannst Du jetzt schreiben:
[mm]\wurzel{\bruch{-3}{4}}=i*\wurzel{\bruch{3}{4}[/mm]
Da per Definition [mm]i^{2}:=-1[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
achso, gut..
laut lösung ist aber
1/2 [mm] (-1\pm \sqrt(3) \cdot [/mm] i)
die lösung!!
wir haben dann ja jetzt
-1/2 [mm] \pm \sqrt{3/4} \cdot [/mm] i
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \wurzel{\bruch{3}{4}}=\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{4}}
[/mm]
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Bestimme drei komplexe Zahlen, so dass [mm]x^3[/mm] = 1 gilt. |
Weißt du, wie meine Lösung aussähe:
erste Zahl: x=1
zweite Zahl: y=i
dritte Zahl: z=1+i
x, y und z sind drei komplexe Zahlen, und es gilt [mm] x^3=1 [/mm] !
(wenn Fragen ungeschickt sind, so sollten wenigstens
die Antworten clever sein dürfen ...)
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
edit(mod): Diese Frage ist in einem anderen Forum separat gestellt worden und wird weiter unten hier eingebunden.
Achso ja stimmt
Meine Lösungen sind also:
[mm] $x_{1}=1 [/mm] + 0i$
[mm] $x_{2}=\frac{-1}{2} [/mm] + [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
[mm] $x_{3}=\frac{-1}{2} [/mm] - [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
NUN, dass war der erste Teil, in meiner Aufgabe muss ich nun zeigen, dass die drei komplexen Lösungen der Gleichung [mm] x^3=1 [/mm] eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen bilden.
Dazu muss ich ja zeigen die:
->Assoziativität
->kommutativität
->Neutrale Element (einselement)
->Mult Inverses
Aber ich verstehe nicht ganz wie ich das in dem bsp. machen soll. Wenn mir es wer für ein Axiom vorzeigen würde, dann würde ich es sicher verstehen. Oder ein Denkanstoß gibt.
DANKE
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:59 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
Oder soll ich die Frage lieber nochmals in einen anderen bereich(Körper) posten ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Sa 05.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo sissile,
> Oder soll ich die Frage lieber nochmals in einen anderen
> bereich(Körper) posten ??
Schon gut. Lass sie mal hier stehen.
Sie gehört ja zur Aufgabe.
Ich verschiebe sie nur mal innerhalb des Threads und gebe ihr eine neue Überschrift. Ich hoffe, das ist ok.
Grüß
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
ich hab sie nochmal gepostet in unterforum Körper.
Vlt kannst du das hier einfach löschen.
danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die drei komplexen Lösungen der Gleichung [mm] x^3=1 [/mm] eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen bilden.
Wie verhält sich diese Gruppe zur Gruppe [mm] (\IZ_{3},+)? [/mm] |
Meine Lösungen sind
[mm] $x_{1}=1 [/mm] + 0i$
[mm] $x_{2}=\frac{-1}{2} [/mm] + [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
[mm] $x_{3}=\frac{-1}{2} [/mm] - [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation
Dazu muss ich ja zeigen die:
->Assoziativität
->kommutativität
->Neutrale Element (einselement)
->Mult Inverses
Aber wie gehe ich da vor? Ist mir ein bisschen unschlüssig.
Besteht die Gruppe nur aus den drei Elementen oder wie??
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: https://matheraum.de
Jedoch in das falsche Unterforum und außerdem war der Post schon so groß.
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> Zeigen Sie, dass die drei komplexen Lösungen der Gleichung
> [mm]x^3=1[/mm] eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation
> komplexer Zahlen bilden.
> Wie verhält sich diese Gruppe zur Gruppe [mm](\IZ_{3},+)?[/mm]
> Meine Lösungen sind
> [mm]x_{1}=1 + 0i[/mm]
> [mm]x_{2}=\frac{-1}{2} + \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=\frac{-1}{2} - \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}[/mm]
>
> abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation
> Dazu muss ich ja zeigen die:
> ->Assoziativität
> ->kommutativität
> ->Neutrale Element (einselement)
> ->Mult Inverses
>
> Aber wie gehe ich da vor? Ist mir ein bisschen
> unschlüssig.
> Besteht die Gruppe nur aus den drei Elementen oder wie??
genau.
Also du musst die Axiome, die du richtig aufgelistet hast, nachrechnen.
Da du die komplexe Multiplikation hast kannst du dir mit Vererbung vielleicht ein wenig Arbeit sparen; falls du das schon kennst und schon benutzen darfst.
Was du allerdings nicht vergessen darfst ist Abgeschlossenheit.
Also wenn du zwei Elemente aus der Menge multiplizierst, landest du dann überhaupt wieder in der Menge drinn?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
kann ich mir dann aussuchen welche 2 ich von die drei Elementen nehme z.B bei der Kommutativität?
(1 + 0 i) * (-1/2 [mm] +i*\sqrt(3)/2)
[/mm]
= -1/2 + i * [mm] \sqrt(3)/2
[/mm]
(-1/2 [mm] +i*\sqrt(3)/2)* [/mm] (1 + 0 i)
=-1/2 + i [mm] *\sqrt(3)/2
[/mm]
so hab ich eigentlich auch gezeigt, dass 1 + 0 i, da einselement ist.
Abgeschlossenheit? mhmm noch nie was davon gehört.. Wie überprüft man das?
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Hmm, nein, zwei Elemente rauszupicken reicht nicht, es muss schon für alle Elemente gelten.
Die 1 ist das neutrale Element, ja, dafür musst du es aber auch mit allen anderen Elementen aus der Menge (sind ja insgesamt nur drei, also machbar) multiplizieren.
Abgeschlossenheit heißt wie gesagt, dass du wenn du zwei Elemente multiplizierst auch wieder in der Menge drinn landest.
Also mal an einem Beispiel:
[mm] $\{-3,-2,-1,0,1,2,3 \} [/mm] mit der Addition der ganzen Zahlen hat ein neutrales Element (0), Inverse, ist kommutativ und assoziativ.
Allerdings ist es keine Gruppe, da die Abgeschlossenheit verletzt ist.
So wäre etwa 1+3=4 nicht in der Menge enthalten.
Eine Gruppe ist ja meist definiert als eine Menge G und eine Verknüpfung [mm] $\circ: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$.
Und hier versteckt sich ganz heimlich die Aussage, dass man bei der Verknüpfung zweier Elemente auch immer wieder ein Element aus der Gruppe selbst bekommt.
Oft muss man das nicht nachprüfen, weil es bereits irgendwo in der Aufgabenstellung gegeben ist.
Hier allerdings (und auch bei obigem Beispiel der Addition ganzer Zahlen) darf man es aber nicht vergessen, sonst gibts Punktabzug. ;)
Wenn du irgendwann mal Vektorräume und Unterräume bekommst könnte das wichtig werden, denn da gibt es doch des öfteren mal Beispiele die ganz gemein an der Abgeschlossenheit scheitern.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 hast du schin als 1 Element!
das ist zu sich selbst invers.
2. multiplizier mal die 2 Zahlen, sie sind konjugiert komplex, dann geben sie schon mal ne reelle Zahl und oh Wunder, du findest zu jeder in einer rechnung ihr inverses. As. gilt für alle komplexen Zahlen, also auch für die!
Denn mal los!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
Nun hab ich die Kommutativität für alle Kombinationen bewiesen.
Und bei jeder Multiplikation bleibt es bei den dre elementen ->Abgeschlossenheit
Und jedes der drei Elemente mal den Einselement ergibt sich selbst.
Bei der Assoziativität:
((1+0i) * [mm] (\frac{-1}{2} [/mm] + [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2})) *(\frac{-1}{2} [/mm] - [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2} [/mm] ) = (1+0i) * [mm] (\frac{-1}{2} [/mm] + [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}) *((\frac{-1}{2} [/mm] - [mm] \frac{i\cdot\sqrt{3}}{2} [/mm] ))
reicht es wenn ich dass zeige oder?
1+0i = 1+0i
Und beim inversen Element.
Geh ich hier am besten allgemein heran? Also für eine allgemein komplexe zahl das inverse Herleiten und jeweils einsetzten für die drei elemente?
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> Nun hab ich die Kommutativität für alle Kombinationen
> bewiesen.
>
> Und bei jeder Multiplikation bleibt es bei den dre
> elementen ->Abgeschlossenheit
>
> Und jedes der drei Elemente mal den Einselement ergibt sich
> selbst.
>
> Bei der Assoziativität:
> ((1+0i) * [mm](\frac{-1}{2}[/mm] + [mm]\frac{i\cdot\sqrt{3}}{2})) *(\frac{-1}{2}[/mm]
> - [mm]\frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}[/mm] ) = (1+0i) * [mm](\frac{-1}{2}[/mm] +
> [mm]\frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}) *((\frac{-1}{2}[/mm] -
> [mm]\frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}[/mm] ))
> reicht es wenn ich dass zeige oder?
> 1+0i = 1+0i
>
> Und beim inversen Element.
> Geh ich hier am besten allgemein heran? Also für eine
> allgemein komplexe zahl das inverse Herleiten und jeweils
> einsetzten für die drei elemente?
>
Nein, das wäre viel zu kompliziert.
Du hast hier in der Menge nur drei Elemente.
Die 1 ist selbstinvers (1*1 = 1).
Bleiben also für die beiden anderen nicht all zu viele Möglichkeiten (um genau zu sein nur noch 2), also einfach mal ausprobieren. ;)
Bei der Assoziativität reicht eine Gleichung, falls du bereits davor Kommutativität gezeigt hast.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Sa 05.11.2011 | | Autor: | sissile |
Was ist da zu kompliziert?
[mm] z^{-1}=1/z= \frac{\vec{z}}{z\cdot\vec{z}} [/mm] = [mm] \frac{\vec{z}}{|z|^2}
[/mm]
= [mm] \frac {a}{|z|^2}-\frac {bi}{|z|^2}
[/mm]
= [mm] \frac {a}{a^2+b^2}-\frac {bi}{a^2+b^2}
[/mm]
statt vektor jeweils kongugierte denken (hab den strich nicht gefunden)
Und dann hab ich jeweils eingesetz für a und b.
Du meintest dass man einfach mal die letzten zwei elemente die noch überig sind multipliziert und dann sieht dass sie invers zu einander sind?
ich glaub so wie ich es gemacht habe ich es schöner ;)
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jup, ich meine multipliziere die beiden letzten miteinander und sehe, das 1 rauskommt.
Auf deine Art geht es natürlich auch, aber ich persönlich finde es komplizierter.
Wenn du es so machen willst ist es aber natürlich nicht falsch.
lg
Schadow
PS:
$\overline{z}$ ergibt [mm] $\overline{z}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 So 06.11.2011 | | Autor: | sissile |
ich danke dir für deine Hilfe ;) <3
Und natürlich allen anderen auch
TSCHAU
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 So 06.11.2011 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal,
jetzt soll man ja noch die Multiplikationstabelle des Beispieles mit der derjenigen der addite Gruppe [mm] \IZ_{3} [/mm] vergleichen.
[mm] \IZ_{3} [/mm] besteht doch aus -2,-1,0,1,2
da ja 3 bzw.-3 wieder 0 wäre
was soll ich jetzt machen?
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> Hallo nochmal,
> jetzt soll man ja noch die Multiplikationstabelle des
> Beispieles mit der derjenigen der addite Gruppe [mm]\IZ_{3}[/mm]
> vergleichen.
>
> [mm]\IZ_{3}[/mm] besteht doch aus -2,-1,0,1,2
> da ja 3 bzw.-3 wieder 0 wäre
Ja und nein.
[mm] $\IZ_3 [/mm] = [mm] \{0,1,2\}$
[/mm]
Da -2 = 1, -1 = 2 hast du nur drei Elemente, genau wie in deiner Gruppe.
Die Frage ist nun: Sind diese Gruppen gleich (bis auf die Namen der Elemente)?
Also kannst du sagen: 0 entspricht a, 1 entspricht b, 2 entspricht c, wobei [mm] $\{a,b,c \}$ [/mm] deine Gruppe ist?
Mit dem "entsprechen" ist hier gemeint: Wenn 1+2 = 0 so ist auch b*c = a (entsprechend für alle anderen Kombinationen).
Und das sollst du eben zeigen oder widerlegen; dafür bietet sich die Multiplikationstabelle sehr gut an.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 So 06.11.2011 | | Autor: | sissile |
Achso okay.
+|0|1|2
0|0|1|2
1|1|2|0
2|2|0|1
Und bei den vorigen 3 elementen mit Multiplikation
und dann zeig ich, wenn ich jeweils ein elementen der einen gruppe eins von der anderen Gruppe zuordne stimmen die Tabbellen überein..
ODER?
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Hallo sissile,
> Achso okay.
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> +|0|1|2
> 0|0|1|2
> 1|1|2|0
> 2|2|0|1
>
> Und bei den vorigen 3 elementen mit Multiplikation
>
> und dann zeig ich, wenn ich jeweils ein elementen der einen
> gruppe eins von der anderen Gruppe zuordne stimmen die
> Tabbellen überein..
> ODER?
Ja, genau. Die beiden Gruppen sind isomorph, haben also die gleiche Struktur.
Das ist hier ja kein Zufall. Bei der Multiplikation (Deiner Wurzeln) addieren sich ja die Exponenten...
Die komplexen Wurzeln [mm] z_i, i\in\{1,\cdots,n\} [/mm] der Äquivalenz [mm] z^n=c [/mm] bilden bezüglich der Multiplikation immer eine ![[]](/images/popup.gif) zyklische Gruppe, und die ist immer abelsch und zu [mm] (\IZ/n\IZ,+) [/mm] isomorph. Das ist ganz geometrisch am leichtesten mit der Drehgruppe eines regelmäßigen n-Ecks (gleich das erste Beispiel im verlinkten Wikipedia-Artikel) zu veranschaulichen. Genau so liegen ja die Lösungen laut der  Moivre-Formel zueinander.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich besteht [mm] Z_3 [/mm] aus 0,1,2 und -1=2, -2=1 da 1+(-1)=0 1+2=0
Gruss leduart
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